Logistic Regression 的前世今生（理论篇）
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写这篇博客的动力是源于看到了以下这篇微博：
我在看到这篇微博的时候大为触动，由于，如果是rickjin来面试我。我想我会死的非常慘，由于他问的问题我基本都回答不上来。
所以，痛定思痛，我决定今后对一些算法的理解不能仅仅是停留在表面。而应该至少往前推一步，尝试看得更远一些。
对于学习机器学习的人来说，Logistic Regression能够说是一个入门的算法，算法本身不复杂，只是也正是由于这个原因。非常多人往往忽略了这个算法的一些内在精髓。
这篇博客里。我打算就rickjin问的一些问题，进行总结：
1. LR原理
2. LR的求解数学推导
3. LR的正则化
4. 为什么LR能比线性回归好？
5. LR与MaxEnt的关系
6. 并行化的LR
逻辑回归模型
尽管逻辑回归 姓 回归，只是事实上它的真实身份是二分类器。介绍完了姓。我们来介绍一下它的名字，逻辑斯蒂。这个名字来源于逻辑斯蒂分布：
逻辑斯蒂分布
设X是连续随机变量，X服从逻辑斯蒂分布是指X具有下列的分布函数和密度函数：
F(x)=P(X≤x)=11+e−(x−μ)/γ
f(x)=F′(X≤x)=e−(x−μ)/γγ(1+e−(x−μ)/γ)2
上式中。μ 表示位置參数。γ>0 为形状參数。
有没有发现F(x)是啥？有图你就知道真相了：
有没有发现右边非常熟悉？没错。就是sigmoid 曲线。仅仅只是，这个曲线是以点( μ, 12) 为中心对称。
从图中能够看出。曲线在中心附近增长速度较快，而形状參数 γ 值越小。曲线在中心附近增长越快，请自行脑补一下。
二项逻辑回归模型
之前说到，逻辑回归是一种二分类模型，由条件概率分布P(Y|X) 表示，形式就是參数化的逻辑斯蒂分布。
这里的自变量X取值为实数。而因变量Y为0或者1。二项LR的条件概率例如以下：
P(Y=1|x)==ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=0|x)==11+ew⋅x
一个事件的几率（odds）：指该事件发生与不发生的概率比值，若事件发生概率为p。那么事件发生的几率就是
odds=p1−p
那么该事件的对数几率（log odds或者logit）就是：
logit(p)=logp1−p
那么，对逻辑回归而言，Y=1的对数几率就是：
logP(Y=1|x)1−P(Y=1|x)=w⋅x
也就是说，输出Y=1的对数几率是由输入x的线性函数表示的模型。这就是 逻辑回归模型。当 w⋅x的值越接近正无穷，P(Y=1|x) 概率值也就越接近1.
模型的数学形式确定后，剩下就是怎样去求解模型中的參数。在统计学中。常用极大似然预计法来求解，即找到一组參数。使得在这组參数下，我们的数据的似然度（概率）最大。
设：
P(Y=1|x)=π(x),P(Y=0|x)=1−π(x)
似然函数：
L(w)=∏[π(xi)]yi[1−π(xi)]1−yi
对数似然函数:
lnL(w)=∑[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
=∑[yilnπ(xi)1−π(xi)+ln(1−π(xi))]
=∑[yi(w⋅xi)−ln(1+ew⋅xi)]
如今要求 w 使得L(w) 最大。有的人可能会有疑问：
在机器学习领域，我们更常常遇到的是损失函数的概念。其衡量的是模型预測错误的程度。常用的损失函数有0-1损失，log损失，hinge损失等。
一般是最小化损失函数，这里为啥求极大似然预计？
实际上。对数似然损失在单个数据点上的定义为：
−ylnp(y|x)−(1−y)ln[1−p(y|x)]=−[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
如果取整个数据集上的平均对数似然损失，我们恰好能够得到:
J(w)=−1NlnL(w)
即在逻辑回归模型中，我们最大化似然函数和最小化对数似然损失函数实际上是等价的。
接下来就是对L(w)求极大值(也可觉得是求J(w)的最小值)。得到w的预计值。逻辑回归学习中通常採用的方法是梯度下降法 和 牛顿法。
[先跑个题]，讲到求极值的方法，突然想到有几个可视化的gif图。能够非常直观地体现各种算法的优劣。好东西当然要分享了。
Imgur 网友通过可视化方法，对照了SGD, momentum, Nesterov, AdaGrad, AdaDelta,
RMSProp等优化算法在Long Valley, Beale’s Function及Saddle Point情况下的性质。
Long Valley:
Beale’s Function:
Saddle Point:
以后会专门写一篇来讲求极值的方法。这是题外话了。我们还是继续回归逻辑吧，哈哈。
以下介绍使用梯度下降法来求解逻辑回归问题。
使用梯度下降法(Gradient Descent)求解逻辑回归
算法（梯度下降法求解逻辑回归）
输入：目标函数：J(w)(对数似然损失函数)，梯度函数： g(w)=∇J(w)。 计算精度ϵ
输出：J(w) 的极小值点 w∗
过程：
(1) 取初始值 w0∈Rn， 令k=0
(2) 计算J(wk)
J(wk)=−1NlnL(wk)⇒−lnL(wk)
=∑[yi(wk⋅xi)−ln(1+ewk⋅xi)]
(3) 计算梯度 gk=g(wk)=∇J(w)
g(wk)=∑[xi⋅yi−xi⋅ewk⋅xi1+ewk⋅xi]
=∑[xi⋅yi−π(xi)]
若||gk||<ϵ 。停止迭代，令
w∗=wk
否则，令pk=−g(wk)。求λk，使得
J(wk+λkpk)=min(J(wk+λpk))
(4) 令wk+1=wk+λkpk。计算 J(wk+1)
当||J(wk+1)−J(wk)||<ϵ 或 ||wk+1−wk||<ϵ，停止迭代，令
w∗=wk+1
(5) 否则，令k=k+1，转(3).
逻辑回归的正则化
当模型的參数过多时。非常easy遇到过拟合的问题。而正则化是结构风险最小化的一种实现方式，通过在经验风险上加一个正则化项，来惩处过大的參数来防止过拟合。
正则化是符合奥卡姆剃刀(Occam’s razor)原理的：在全部可能选择的模型中。能够非常好地解释已知数据而且十分简单的才是最好的模型。
我们来看一下underfitting，fitting跟overfitting的情况：
显然，最右这张图overfitting了，原因可能是能影响结果的參数太多了。
典型的做法在优化目标中增加正则项，通过惩处过大的參数来防止过拟合：
J(w)=>J(w)+λ||w||p
p=1或者2。表示L1 范数和 L2范数。这两者还是有不同效果的。
L1范数：是指向量中各个元素绝对值之和。也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。
那么。參数稀疏 有什么优点呢？
一个关键原因在于它能实现 特征的自己主动选择。
一般来说，大部分特征 xi和输出 yi 之间并没有多大关系。
在最小化目标函数的时候考虑到这些额外的特征 xi，尽管能够获得更小的训练误差，但在预測新的样本时。这些无用的信息反而会干扰了对正确 yi 的预測。稀疏规则化算子的引入就是为了完毕特征自己主动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征相应的权重置为0。
L2范数：它有两个美称。在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减”(weight decay)。
它的强大之处就是它能 解决过拟合 问题。我们让 L2 范数的规则项 ||w||2 最小。能够使得 w 的每一个元素都非常小。都接近于0，但与 L1 范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0。这里还是有非常大差别的。而越小的參数说明模型越简单。越简单的模型则越不easy产生过拟合现象。
咦，你为啥说越小的參数表示的模型越简单呢？ 事实上我也不知道，我也是猜，可能是由于參数小。对结果的影响就小了吧。
为了更直观看出两者的差别，我再放一张图：
为了简单，上图仅仅考虑了w为二维(w1,w2)的情况。彩色等高线是(w1,w2)；而左边黑色矩形 ||w||1<C 和右边的圆形 ||w||2<C 是约束条件。相交的黑点就是最优解发生的地方。两者的差别能够从图中看出来，L1正则化（左图）倾向于使參数变为0，因此能产生稀疏解。而 L2 使 w 接近0；
一句话总结就是：L1 会趋向于产生少量的特征，而其它的特征都是0，而 L2 会选择很多其它的特征。这些特征都会接近于0。
为什么逻辑回归比线性回归要好？
尽管逻辑回归能够用于分类。只是其本质还是线性回归。它仅在线性回归的基础上，在特征到结果的映射中增加了一层sigmoid函数（非线性）映射，即先把特征线性求和。然后使用sigmoid函数来预測。
然而，正是这个简单的逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星。
以下我们来谈谈逻辑回归与线性回归的异同点吧。
如果随Tumor Size变化。预測病人的肿瘤是恶性（malignant）还是良性（benign）的情况。给出8个数据例如以下（阈值为0.5）：
![此处输入图片的描写叙述][10]
图1.a中，粉色线是预測模型，能够看出，模型能够全然把结果预測对了，可是图1.b中蓝色线却预測的非常差。
这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围。须要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预測范围，将预測值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线例如以下图所看到的。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预測值限定为(0,1)。
逻辑回归与最大熵模型MaxEnt的关系?
逻辑回归跟最大熵模型究竟有啥差别呢？
简单粗暴 的回答是：逻辑回归跟最大熵模型没有本质差别。逻辑回归是最大熵相应类别为二类时的特殊情况。也就是当逻辑回归类别扩展到多类别时。就是最大熵模型。
以下来具体地介绍一下：
在进行以下推导之前，先上几个数学符号定义:
π(x)u 表示，输入时x, 输出的 y=u的概率;
A(u,v) 是一个指示函数，若u=v。则 A(u,v)=1。否则 A(u,v)=0
我们的目标，就是从训练数据中，学习得到一个模型。使得 π(x)u 最大化，也就是输入x，预測结果是 y 的概率最大，也就是使得 π(x)y 最大。
回想逻辑回归
标准的逻辑回归是二类模型，有：
P(Y=1|x)=π(x)1=ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=0|x)=π(x)0=1−π(x)1
我们用一个更加泛化的形式来表达 π()，(仅仅是在这里，k=2)：
π(x)v=ewv⋅x∑ku=1ewu⋅x
回到我们的目标：令π(xi)yi 最大。能够用极大似然预计的方法来求解。
L(w)=∏i=1nπ(xi)yi
lnL(w)=∑i=1nln(π(xi)yi)
对lnL(w)求偏导，得到：
δδwu,jlnL(w)=...=∑i=1,yi=unxij−∑i=1nxijπ(xi)u
令偏导等于0，能够得到：
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1,yi=unxij,(forallu,j)
使用A(u,yi) 这个函数，我们能够重写等式：
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
回想最大熵模型
想要证明逻辑回归跟最大熵模型是等价的，那么。仅仅要能够证明它们的 π() 是同样。结论自然就出来了。如今，我们不知道最大熵模型的 π()，可是我们知道以下的一些性质：
π(x)v≥0always
∑v=1kπ(x)v=1always
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
利用信息论的仅仅是，我们能够得到π() 的熵。定义例如以下：
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
如今，我们有了目标：∑π() 最大，也有了上面的4个约束条件。求解约束最优化问题，能够通过拉格朗日乘子，将约束最优化问题转换为无约束最优化的对偶问题。
我们的拉格朗日式子能够写成例如以下：
L=∑j=1m∑v=1kwv,j(∑i=1nπ(xi)vxij−A(v,yi)xij)
+∑v=1k∑i=1nβi(π(xi)v−1)
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
对L求偏导。得到：
δδπ(xi)uL=wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1
令偏导=0，得到：wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1=0，从而得到：
π(xi)u=ewu⋅xi+βi−1
由于有约束条件:∑kv=1π(x)v=1，所以，
∑v=1kewv⋅xi+βi−1=1
因此。能够得到
eβ=1/∑v=1kewv⋅xi−1
把eβ 代入π()，而且简化一下式子：
π(x)u=ewu⋅x∑kv=1ewv⋅x
有没有发现这就是逻辑回归中。提到的那个泛化的式子，这就证明了逻辑回归是最大熵模型的一个特殊样例（k=2）！
到此，逻辑回归与最大熵模型的关系就解释完毕了，总结一下：
逻辑回归跟最大熵模型没有本质差别。逻辑回归是最大熵相应类别为二类时的特殊情况
指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然。
二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然；
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。
如果分布求解最大熵，引入拉格朗日函数，求偏导数等于0。直接求出的就是sigmoid函数形式。还有非常多指数簇分布都有相应的最大似然解。而单个指数簇分布往往表达能力有限，这就须要引入了多个指数簇分布的混合模型，比方高斯混合，从而引出EM算法。
Logistic Regression的理论部分讲的差点儿相同了。下一篇文章将介绍Logistic Regression的并行化 project问题。
敬请期待…
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參考文献
[1]. 李航，《统计学习方法》
[2]. John Mount. *"The equivalence of logistic regression and maximum entropy models"*
[3]. http://tech.meituan.com/intro_to_logistic_regression.html
[4]. http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
[5]. http://www.tuicool.com/articles/auQFju
