NC16564 [NOIP2012]借教室
题目
题目描述
在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。
面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。
我们需要处理接下来 \(n\) 天的借教室信息，其中第 \(i\) 天学校有 \(r_i\) 个教室可供租借。共有 \(m\) 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 \(d_j, s_j, t_j\)，表示某租借者需要从第 \(s_j\) 天到第 \(t_j\) 天租借教室（包括第 \(s_j\) 天和第 \(t_j\) 天），每天需要租借 \(d_j\) 个教室。
我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 \(d_j\) 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。
借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 \(s_j\) 天到第 \(t_j\) 天中有至少一天剩余的教室数量不足 \(d_j\) 个。
现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。
输入描述
第一行包含两个正整数 \(n, m\) ，表示天数和订单的数量。第二行包含 \(n\) 个正整数，其中第 \(i\) 个数为 \(r_i\) ，表示第i天可用于租借的教室数量。接下来有 \(m\) 行，每行包含三个正整数 \(d_j, s_j, t_j\) ，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 \(1\) 开始的整数编号。
输出描述
如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 \(0\) 。否则（订单无法完全满足）输出两行，第一行输出一个负整数 \(-1\) ，第二行输出需要修改订单的申请人编号。
示例1
输入
4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4
输出
-1
2
说明
第 1 份订单满足后，4 天剩余的教室数分别为0，3，2，3。
第 2 份订单要求第2 天到第4 天每天提供3 个教室，而第3 天剩余的教室数为2，因此无法满足。分配停止，通知第2个申请人修改订单。
备注
对于 \(10\%\) 的数据，有 \(1≤n,m≤10\)；
对于 \(30\%\) 的数据，有 \(1≤n,m≤1000\) ；
对于 \(70\%\) 的数据，有 \(1≤n,m≤10^5\)；
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1≤n, m≤10^6, 0≤r_i, d_j≤10^9, 1≤s_j≤t_j≤ n\) 。
题解
思路
知识点：二分。
注意到答案具有单调性，答案订单以及之后一定因为答案订单导致某天超标完不成，答案订单之前一定完成，于是二分答案。
对答案以及之前的订单累加每天的使用房间数，这个过程先用差分标记，之后一次加完。如果有某天超过数量的房间，就说明包括到的订单中一定有一个超标了，否则就没包括答案订单。
每次变化差分区间只变化一部分，因此记录变化部分即可，能优化。
时间复杂度 \(O(n \log m)\)
空间复杂度 \(O(n+m)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r[1000007], d[1000007], s[1000007], t[1000007];
int diff[1000007];
int n, m, midpre;
inline int read() {
int x = 0, f = 1;char c = getchar();
while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-')f = -1;c = getchar(); }
while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar(); }
return x * f;
}
bool check(int mid) {
/* for (int i = 1;i <= n;i++) diff[i] = 0;
for (int i = 1;i <= mid;i++) {
diff[s[i]] += d[i];
diff[t[i] + 1] -= d[i];
}
int sum = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
sum += diff[i];
if (sum > r[i]) return 0;
}
return 1; */
if (mid > midpre) {
for (int i = midpre + 1;i <= mid;i++) {
diff[s[i]] += d[i];
diff[t[i] + 1] -= d[i];
}
}
else {
for (int i = midpre;i >= mid + 1;i--) {
diff[s[i]] -= d[i];
diff[t[i] + 1] += d[i];
}
}
int sum = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
sum += diff[i];
if (sum > r[i]) return 0;
}
return 1;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
n = read();
m = read();
for (int i = 1;i <= n;i++) r[i] = read();
for (int i = 1;i <= m;i++) d[i] = read(), s[i] = read(), t[i] = read();
int l = 1, r = m;
while (l <= r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) l = mid + 1;
else r = mid - 1;
midpre = mid;
}
if (l == m + 1) cout << 0 << '\n';
else cout << -1 << '\n' << l << '\n';
return 0;
}
