作者：韩信子@ShowMeAI，路遥@ShowMeAI，奇异果@ShowMeAI
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ShowMeAI为斯坦福CS224n《自然语言处理与深度学习(Natural Language Processing with Deep Learning)》课程的全部课件，做了中文翻译和注释，并制作成了GIF动图！
本讲内容的深度总结教程可以在这里 查看。视频和课件等资料的获取方式见文末。
引言
CS224n是顶级院校斯坦福出品的深度学习与自然语言处理方向专业课程。核心内容覆盖RNN、LSTM、CNN、transformer、bert、问答、摘要、文本生成、语言模型、阅读理解等前沿内容。
ShowMeAI将从本节开始，依托cs224n课程为主框架，逐篇为大家梳理NLP的核心重点知识原理。
本篇内容覆盖：
第1课直接切入语言和词向量，讲解了自然语言处理的基本概念，文本表征的方法和演进，包括word2vec等核心方法，词向量的应用等。
自然语言与文字
word2vec介绍
word2vec目标函数与梯度
算法优化基础
word2vec构建的词向量模式
1. 自然语言与词汇含义
1.1 人类的语言与词汇含义
咱们先来看看人类的高级语言。
人类之所以比类人猿更“聪明”，是因为我们有语言，因此是一个人机网络，其中人类语言作为网络语言。人类语言具有信息功能和社会功能。
据估计，人类语言只有大约5000年的短暂历史。语言和写作是让人类变得强大的原因之一。它使知识能够在空间上传送到世界各地，并在时间上传送。
但是，相较于如今的互联网的传播速度而言，人类语言是一种缓慢的语言。然而，只需人类语言形式的几百位信息，就可以构建整个视觉场景。这就是自然语言如此迷人的原因。
1.2 我们如何表达一个词的意思？
我们如何表达一个词的含义呢？有如下一些方式：
用一个词、词组等表示的概念。
一个人想用语言、符号等来表达的想法。
表达在作品、艺术等方面的思想。
理解意义的最普遍的语言方式(linguistic way)：语言符号与语言意义（想法、事情）的相互对应
denotational semantics：语义
\[signifier(symbol) \Leftrightarrow signified(idea \quad or \quad thing)
\]
1.3 如何在计算机里表达词的意义
要使用计算机处理文本词汇，一种处理方式是WordNet：即构建一个包含同义词集和上位词(“is a”关系)的列表的辞典。
英文当中确实有这样一个wordnet，我们在安装完NLTK工具库和下载数据包后可以使用，对应的python代码如下：
from nltk.corpus import wordnet as wn
poses = { 'n':'noun', 'v':'verb', 's':'adj (s)', 'a':'adj', 'r':'adv'}
for synset in wn.synsets("good"):
print("{}: {}".format(poses[synset.pos()], ", ".join([l.name() for l in synset.lemmas()])))
from nltk.corpus import wordnet as wn
panda = wn.synset("panda.n.01")
hyper = lambda s: s.hypernyms()
list(panda.closure(hyper))
结果如下图所示：
1.4 WordNet的问题
WordNet大家可以视作1个专家经验总结出来的词汇表，但它存在一些问题：
① 忽略了词汇的细微差别
例如“proficient”被列为“good”的同义词。这只在某些上下文中是正确的。
② 缺少单词的新含义
难以持续更新！
例如：wicked、badass、nifty、wizard、genius、ninja、bombast
③ 因为是小部分专家构建的，有一定的主观性
④ 构建与调整都需要很多的人力成本
⑤ 无法定量计算出单词相似度
1.5 文本(词汇)的离散表征
在传统的自然语言处理中，我们会对文本做离散表征，把词语看作离散的符号：例如hotel、conference、motel等。
一种文本的离散表示形式是把单词表征为独热向量(one-hot vectors)的形式
独热向量：只有一个1，其余均为0的稀疏向量
在独热向量表示中，向量维度=词汇量(如500,000)，以下为一些独热向量编码过后的单词向量示例：
\[motel = [0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0]
\]
\[hotel = [0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0]
\]
1.6 离散表征的问题
在上述的独热向量离散表征里，所有词向量是正交的，这是一个很大的问题。对于独热向量，没有关于相似性概念，并且向量维度过大。
对于上述问题有一些解决思路：
① 使用类似WordNet的工具中的列表，获得相似度，但会因不够完整而失败
② 通过大量数据学习词向量本身相似性，获得更精确的稠密词向量编码
1.7 基于上下文的词汇表征
近年来在深度学习中比较有效的方式是基于上下文的词汇表征。它的核心想法是：一个单词的意思是由经常出现在它附近的单词给出的 “You shall know a word by the company it keeps” (J. R. Firth 1957: 11)。
这是现代统计NLP最成功的理念之一，总体思路有点物以类聚，人以群分的感觉。
当一个单词 \(w\)出现在文本中时，它的上下文是出现在其附近的一组单词(在一个固定大小的窗口中)
基于海量数据，使用 \(w\)的许多上下文来构建 \(w\)的表示
如图所示，banking的含义可以根据上下文的内容表征。
2.Word2vec介绍
2.1 词向量表示
下面我们要介绍词向量的构建方法与思想，我们希望为每个单词构建一个稠密表示的向量，使其与出现在相似上下文中的单词向量相似。
词向量(word vectors)有时被称为词嵌入(word embeddings)或词表示(word representations)。
稠密词向量是分布式表示(distributed representation)。
2.2 Word2vec原理介绍
Word2vec (Mikolov et al. 2013)是一个学习词向量表征的框架。
核心思路如下：
基于海量文本语料库构建
词汇表中的每个单词都由一个向量表示（学习完成后会固定）
对应语料库文本中的每个位置 \(t\)，有一个中心词 \(c\)和一些上下文(“外部”)单词 \(o\)
使用 \(c\)和 \(o\)的词向量来计算概率 \(P(o|c)\)，即给定中心词推断上下文词汇的概率（反之亦然）
不断调整词向量来最大化这个概率
下图为窗口大小 \(j=2\)时的 \(P\left(w_{t+j} | w_{t}\right)\)，它的中心词为 \(into\)
下图为窗口大小 \(j=2\)时的 \(P\left(w_{t+j} | w_{t}\right)\)，它的中心词为 \(banking\)
3.Word2vec 目标函数
3.1 Word2vec目标函数
我们来用数学表示的方式，对word2vec方法做一个定义和讲解。
3.1.1 似然函数
对于每个位置 \(t=1, \cdots, T\)，在大小为 \(m\)的固定窗口内预测上下文单词，给定中心词 \(w_j\)，似然函数可以表示为：
\[Likelihoood = L(\theta) = \prod^{T}_{t=1} \prod_{-m \leq j \leq m \atop j \neq 0} P(w_{t+j} | w_{t} ; \theta)
\]
上述公式中， \(\theta\)为模型包含的所有待优化权重变量
3.1.2 目标函数
对应上述似然函数的目标函数 \(J(\theta)\)可以取作(平均)负对数似然：
\[J(\theta)=-\frac{1}{T} \log L(\theta)=-\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{-m \leq j \leq m \atop j \neq 0} \log P\left(w_{t+j} | w_{t} ; \theta\right)
\]
注意：
目标函数 \(J(\theta)\)有时也被称为“代价函数”或“损失函数”
最小化目标函数 \(\Leftrightarrow\)最大化似然函数（预测概率/精度），两者等价
补充解读：
上述目标函数中的log形式是方便将连乘转化为求和，负号是希望将极大化似然率转化为极小化损失函数的等价问题
在连乘之前使用log转化为求和非常有效，特别是做优化时
\[\log \prod_i x_i = \sum_i \log x_i
\]
得到目标函数后，我们希望最小化目标函数，那我们如何计算 \(P(w_{t+j} | w_{t} ; \theta)\)？
对于每个词 \(w\)都会用两个向量：
当 \(w\)是中心词时，我们标记词向量为 \(v_w\)
当 \(w\)是上下文词时，我们标记词向量为 \(u_w\)
则对于一个中心词 \(c\)和一个上下文词 \(o\)，我们有如下概率计算方式：
\[P(o | c)=\frac{\exp \left(u_{o}^{T} v_{c}\right)}{\sum_{w \in V} \exp \left(u_{w}^{T} v_{c}\right)}
\]
对于上述公式，ShowMeAI做一点补充解读：
公式中，向量 \(u_o\)和向量 \(v_c\)进行点乘
向量之间越相似，点乘结果越大，从而归一化后得到的概率值也越大
模型的训练正是为了使得具有相似上下文的单词，具有相似的向量
点积是计算相似性的一种简单方法，在注意力机制中常使用点积计算Score，参见ShowMeAI文章[C5W3] 16.Seq2Seq序列模型和注意力机制
3.2 从向量视角回顾Word2vec
下图为计算 \(P(w_{t+j} |w_{t})\)的示例，这里把 \(P(problems|into; u_{problems},v_{into},\theta)\)简写为 \(P(u_{problems} | v_{into})\)，例子中的上下文窗口大小2，即“左右2个单词+一个中心词”。
4.Word2vec prediction function
4.1 Word2vec预测函数
回到上面的概率计算，我们来观察一下
\[P(o | c)=\frac{\exp \left(u_{o}^{T} v_{c}\right)}{\sum_{w \in V} \exp \left(u_{w}^{T} v_{c}\right)}
\]
取幂使任何数都为正
点积比较 \(o\)和 \(c\)的相似性 \(u^{T} v=u . v=\sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}\)，点积越大则概率越大
分母：对整个词汇表进行标准化，从而给出概率分布
这里有一个softmax的概率，softmax function \(\mathbb{R}^{n} \in \mathbb{R}^{n}\)示例：
将任意值 \(x_i\)映射到概率分布 \(p_i\)
\[\operatorname{softmax}\left(x_{i}\right)=\frac{\exp \left(x_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} \exp \left(x_{j}\right)}=p_{i}
\]
其中对于名称中soft和max的解释如下（softmax在深度学习中经常使用到）：
max：因为放大了最大的概率
soft：因为仍然为较小的 \(x_i\)赋予了一定概率
4.2 word2vec中的梯度下降训练细节推导
下面是对于word2vec的参数更新迭代，应用梯度下降法的一些推导细节，ShowMeAI写在这里做一点补充。
首先我们随机初始化 \(u_{w}\in\mathbb{R}^d\)和 \(v_{w}\in\mathbb{R}^d\)，而后使用梯度下降法进行更新
\[\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial v_c}\log P(o|c) &=\frac{\partial}{\partial v_c}\log \frac{\exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\\
&=\frac{\partial}{\partial v_c}\left(\log \exp(u_o^Tv_c)-\log{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\right)\\
&=\frac{\partial}{\partial v_c}\left(u_o^Tv_c-\log{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\right)\\
&=u_o-\frac{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)u_w}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}
\end{aligned}
\]
偏导数可以移进求和中，对应上方公式的最后两行的推导
\(\frac{\partial}{\partial x}\sum_iy_i = \sum_i\frac{\partial}{\partial x}y_i\)
我们可以对上述结果重新排列如下，第一项是真正的上下文单词，第二项是预测的上下文单词。使用梯度下降法，模型的预测上下文将逐步接近真正的上下文。
\[\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial v_c}\log P(o|c)
&=u_o-\frac{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)u_w}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\\
&=u_o-\sum_{w\in V}\frac{\exp(u_w^Tv_c)}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}u_w\\
&=u_o-\sum_{w\in V}P(w|c)u_w
\end{aligned}
\]
再对 \(u_o\)进行偏微分计算，注意这里的 \(u_o\)是 \(u_{w=o}\)的简写，故可知
\[\frac{\partial}{\partial u_o}\sum_{w \in V } u_w^T v_c = \frac{\partial}{\partial u_o} u_o^T v_c = \frac{\partial u_o}{\partial u_o}v_c + \frac{\partial v_c}{\partial u_o}u_o= v_c
\]
\[\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial u_o}\log P(o|c)
&=\frac{\partial}{\partial u_o}\log \frac{\exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\\
&=\frac{\partial}{\partial u_o}\left(\log \exp(u_o^Tv_c)-\log{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\right)\\
&=\frac{\partial}{\partial u_o}\left(u_o^Tv_c-\log{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\right)\\
&=v_c-\frac{\sum\frac{\partial}{\partial u_o}\exp(u_w^Tv_c)}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\\
&=v_c - \frac{\exp(u_o^Tv_c)v_c}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}\\
&=v_c - \frac{\exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w\in V}\exp(u_w^Tv_c)}v_c\\
&=v_c - P(o|c)v_c\\
&=(1-P(o|c))v_c
\end{aligned}
\]
可以理解，当 \(P(o|c) \to 1\)，即通过中心词 \(c\)我们可以正确预测上下文词 \(o\)，此时我们不需要调整 \(u_o\)，反之，则相应调整 \(u_o\)。
关于此处的微积分知识，可以查阅ShowMeAI的教程图解AI数学基础文章图解AI数学基础 | 微积分与最优化。
训练模型的过程，实际上是我们在调整参数最小化损失函数。
如下是一个包含2个参数的凸函数，我们绘制了目标函数的等高线。
4.3 训练模型：计算所有向量梯度
\(\theta\)代表所有模型参数，写在一个长的参数向量里。
在我们的场景汇总是 \(d\)维向量空间的 \(V\)个词汇。
5.视频教程
可以点击 B站 查看视频的【双语字幕】版本
6.参考资料
本讲带学的在线阅翻页本
《斯坦福CS224n深度学习与自然语言处理》课程学习指南
《斯坦福CS224n深度学习与自然语言处理》课程大作业解析
【双语字幕视频】斯坦福CS224n | 深度学习与自然语言处理(2019·全20讲)
Stanford官网 | CS224n: Natural Language Processing with Deep Learning
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