引入
快慢指针经常用于链表(linked list)中环(Cycle)相关的问题。LeetCode中对应题目分别是：
- 141. Linked List Cycle 判断linked list中是否有环
142. Linked List Cycle II 找到环的起始节点（entry node）位置。
简介
- 快指针(fast pointer)和慢指针(slow pointer)都从链表的head出发。
slow pointer每次移动一格，而快指针每次移动两格。
如果快慢指针能相遇，则证明链表中有环；否则如果走到头了依然没有相遇，则没有环。
快慢指针的具体代码(C++, Python, Java版本)可以参考这个链接。
问题详解 —— 为什么如果有环，则快慢指针必定会相遇？
我们假设以下变量：
\(L_1\)：起始节点(head node)到环起始节点(entry node)的距离。
\(C\): 环的长度。
假设我们的慢指针移动了\(x\)步，那么快指针就移动了\(2x\)步。
那么必定有$$(x-L_1)% C= (2x-L_1) % C $$$$(2x-x)% C = 0$$$$x%C=0$$
以上三个式子步步可逆，由于\(C\)是给定的fixed value，而\(x\)每步都在上升，因此必定有一个\(x=wC(w\in {N})\)使得他们相遇。并且有\(L_1 \le x\)所以必有\(x=\)⌈\(\frac{L_1}{C}\)⌉\(C\)为他们第一次相遇的地点。因此有\(x< L_1 + C\) where \(x=\)⌈\(\frac{L_1}{C}\)⌉\(C\)
这也就意味着他们相遇的地方一定是慢指针在环里的第一圈。
问题详解 —— 如何找到环的起始节点？
我们再增加一些变量:
\(L_2\): 环起始节点(entry node)到快慢指针相遇节点的距离。
\(k\): 慢指针和快指针相遇的时候，慢指针走了的距离。
注意到，因为快指针走了的距离总是慢指针走了的距离的两倍，因此\(2k\)是慢指针和快指针相遇的时候，快指针走了的距离。
由慢指针可以得出$$L_1+L_2=k$$由快指针可以得出，其中n是快指针已经走过的圈数$$L_1+nC+L_2 = 2k$$结合上述两个式子，我们可以得出$$nC=k$$
当慢指针在遇到了快指针之后，慢指针又马上移动了，那么慢指针需要移动\(p\)步后就可以让慢指针就回到了环起始节点(entry node)。与此同时，在快慢指针相遇之后，又有一个指针马上从原点出发，那么它需要经过\(q\) 步才能到达起始节点(entry node)而且与慢指针相遇。
当慢指针和这个新指针相遇的时候，有$$(p-L_1)%C=(q+L_2)%C$$
由离散数学中的定理可知$$(p-q-L_1-L_2)%C=0$$$$(p-q-nC)%C=(p-q)%C=0$$
不妨取\(p=q\)即\(p-q=0\Rightarrow （p-q）\%C=0\)
因此当他们同时回到环起始节点(entry node)的时候，有慢指针第一次相遇后走过的距离\(p\)和新指针走的距离\(p=q\)。
值得注意的是\(L_2< C\)，因此，他们第一相遇的时候必有\(q<C-L_2\)，也就是说慢指针和新指针第一次相遇的时候，他们必定都在环起始节点(entry node)。
LeetCode 对应代码
判断linked list中是否有环(141. Linked List Cycle)
这个算法的时间复杂度是O(n)
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode(object):
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution(object):
def hasCycle(self, head):
"""
:type head: ListNode
:rtype: bool
"""
if head is None:
return False
slow = head
fast = head
while(fast.next and fast.next.next):
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast:
return True
return False
找到环的起始节点(entry node)位置(142. Linked List Cycle II)
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode(object):
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution(object):
def detectCycle(self, head):
"""
:type head: ListNode
:rtype: ListNode
"""
if head is None:
return None
slow, fast, new_node = head, head, head
while(fast.next and fast.next.next):
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast:
while slow != new_node:
new_node = new_node.next
slow = slow.next
return new_node
return None
