1.难点-如何实现高效的通信
我们考虑下列的多任务优化问题：
\[ \underset{\textbf{W}}{\min} \sum_{t=1}^{T} [\frac{1}{m_t}\sum_{i=1}^{m_t}L(y_{ti}, \langle \bm{w}_t, \bm{x}_{ti} \rangle)]+\lambda \text{pen}(\textbf{W})
\tag{1}
\]
这里\(\text{pen}(\mathbf{W})\)是一个用于增强group sparse的正则项（参见联合特征学习（joint feature learning），常为\(l_1/l_2\)、\(l_1/l_{\infin}\)范数的组合，用于只保留对所有任务有用的特征）。比如。在group lasso penalty[1][2] 中使用 \(\text{pen}(\mathbf{W}) =\sum_{t=1}^T||\bm{w}_t||_2 = \sum_{t=1}^T (\sum_{j=1}^d{w}_{jt}^2 )^{1/2}\)（这里\(d\)为特征维度，\(T\)为任务数,\(\bm{w}_t\)为\(\mathbf{W}\)的第\(t\)列）; \(\text{iCAP}\)使用\(\text{pen}(\mathbf{W}) = ||\mathbf{W}||_{\infin, 1} = \sum_{j=1}^d||\bm{w}^j||_{\infin}= \sum_{j=1}^d\underset{1\leqslant t \leqslant T}{\text{max}}|w_{jt}|\) [3][4](这里\(\bm{w}^j\)是指\(\mathbf{W}\)的第\(j\)行。注意区分这个和矩阵的\(\infin\)范数，求和与求最大的顺序是不一样的!这里相当于求向量的无穷范数之和)，等等。
在分布式的环境中，我们可以按照文章《分布式多任务学习论文阅读（二）同步和异步优化算法》(链接：https://www.cnblogs.com/orion-orion/p/15487700.html)提到的基于近端梯度的同步/异步优化算法来优化问题\((1)\)，但是正如我们在该篇博客中所说的，这种方法需要多轮的通信，时间开销较大。这样，如何实现机器间的有效通信是我们必须要想办法解决该问题。
现在的热点解决方案是采用去中心化(decentralize)的思想，即使任务节点绕过主节点，直接利用相邻任务节点的信息，这样可以大大降低通信量[5][6][7]。这种方法我们未来会着重介绍，此时按下不表。
当然，读者可能会思考，我们可以不可以直接每个任务各自优化各的\(l_1\)正则目标函数，即每个任务直接采用近端梯度法求解下列的local lasso问题：
\[ \hat{\textbf{w}}_t = \underset{\textbf{w}_t}{\text{argmin}}\frac{1}{m_t}\sum_{i=1}^{m_t}L(y_{ti}, \langle \textbf{w}_t, \textbf{x}_{ti} \rangle)+\lambda_t ||\textbf{w}_t||_{1}
\]
很遗憾，这种方法虽然做到了不同任务优化的解耦，但本质上变成了单任务学习，没有充分利用好多任务之间的联系（任务之间的练习须依靠group sparse正则项\(\text{pen}(\textbf{W})\)来实现）。那么，有没有即能够减少通信次数，又能够保存group regularization的基本作用呢？（暂时不考虑任务节点相互通信的去中心化的方法）
2. 基于去偏lasso模型的分布式算法
论文《distributed multitask learning》[8]提出的算法介于传统的分布式近端梯度法和local lasso之间，其计算只需要一轮通信，但仍然保证了使用group regularization所带来的统计学效益。 该论文提出的算法描述如下：
这里我们特别说明一下第4行的操作,\(m_t^{-1}\mathbf{X}_t^T(\bm{y}_t - \mathbf{X}_t\hat{\bm{w}}_t)\)
是损失函数的次梯度；矩阵\(\textbf{M}_t\in \mathbb{R}^{d \times d}\)是Hessian矩阵的近似逆，\(m_t\)是任务\(t\)对应的样本个数(事实上原论文假定\(m_1=m_2=...=m_T\))；节点\(t\)对应的训练数据是\((\mathbf{X}_t, \bm{y}_t)\)。
这种求去偏lasso估计量的方法由最近关于高维统计[9][10][11]的文章提出，这些论文都企图去除引入算法第3行所示的\(l_1\)正则项所导致的偏差(bias)，具体方法是运用\(l_1\)正则损失函数关于\(\bm{w}_t\)的次梯度来构造得到参数成分的无偏估计量\(\hat{\bm{w}}^u_t\)。下面我们会参照去偏估计器的采样分布，但我们的最终目标不同。[9][10][11]这三篇论文构造矩阵\(\mathbf{M}\)的方法不同，本篇论文主要参照论文[11]的方法，复合假设。每个机器使用矩阵\(\mathbf{M}_t=(\hat{\bm{m}}_{tj})_{j=1}^d\)，它的行是：
\[\begin{aligned}
& \hat{\bm{m}}_{tj} = \underset{\bm{m}_j \in \mathbb{R}^p}{\text{argmin}} \quad \bm{m}_j^T\hat{\mathbf{\Sigma}_t}\bm{m}_j \\
& \text{s.t.} \quad ||\hat{\mathbf{\Sigma}}_t\bm{m}_j - \bm{e}_j ||_{\infin} \leqslant u.
\end{aligned}
\]
这里\(\bm{e}_j\)是第\(j\)个元素为1其他元素为0的（标准基）向量，\(\hat{\Sigma}_t={m_t}^{-1} \mathbf{X}_t^T\mathbf{X}_t\)。
当每个任务节点得到去偏估计量\(\hat{\bm{w}}_t^u\)后，就会将其送往主节点。在主节点那边，待从所有任务节点收到\(\{\hat{\bm{w}}_t^u\}_{t=1}^T\)后，就来到了第\(12\)行的操作。第\(12\)行的操作在master节点的操作充分利用了不同任务参数之间的共享稀疏性，即主节点将接收到的估计量拼接成矩阵\(\hat{\textbf{W}}^u=(\hat{\bm{w}}_1^u, \hat{\bm{w}}_2^u,..., \hat{\bm{w}}_T^u)\)，然后再执行hard thresholding以过得\(\mathbf{S}\)的估计量：
\[\hat{S}(\Lambda)=\{j \text{ }| \text{ } ||\hat{\textbf{W}}_j^u||_2 > \Lambda \}
\]
参考文献
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[2] Friedman J, Hastie T, Tibshirani R. A note on the group lasso and a sparse group lasso[J]. arXiv preprint arXiv:1001.0736, 2010.
[3] Zhao P, Rocha G, Yu B. The composite absolute penalties family for grouped and hierarchical variable selection[J]. The Annals of Statistics, 2009, 37(6A): 3468-3497.
[4] Liu H, Palatucci M, Zhang J. Blockwise coordinate descent procedures for the multi-task lasso, with applications to neural semantic basis discovery[C]//Proceedings of the 26th Annual International Conference on Machine Learning. 2009: 649-656.
[5] Zhang C, Zhao P, Hao S, et al. Distributed multi-task classification: A decentralized online learning approach[J]. Machine Learning, 2018, 107(4): 727-747.
[6] Yang P, Li P. Distributed primal-dual optimization for online multi-task learning[C]//Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. 2020, 34(04): 6631-6638.
[7] Li J, Abbas W, Koutsoukos X. Byzantine Resilient Distributed Multi-Task Learning[J]. arXiv preprint arXiv:2010.13032, 2020.
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[9] Zhang C H, Zhang S S. Confidence intervals for low dimensional parameters in high dimensional linear models[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2014, 76(1): 217-242.
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[11] Javanmard A, Montanari A. Confidence intervals and hypothesis testing for high-dimensional regression[J]. The Journal of Machine Learning Research, 2014, 15(1): 2869-2909.
[12] 杨强等. 迁移学习[M].机械工业出版社, 2020.
