01背包问题
题目描述
有
n件物品和容量为w的背包，给你两个数组weights和values，分别表示第i件物品的重量和价值，每件物品只能使用一次，求解将哪些物品装入背包可使得物品价值总和最大？
建立模型
- 确定dp数组及下标的含义，数组的含义为从第
[0, i - 1] 个物品中选择若干个物品，其重量和小于等于 j 的最大价值。初始化dp数组，
dp[i][0] = 0 (0 < i < length)，即背包容量为0的最大价值为0；dp[0][j] = 0，即没有物品选择时最大价值为0。确定递推公式：
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - weighti[i]] + values[i], dp[i - 1][j]) (weights[i] <= j)，左边表示选择当前物品，右边表示不选择当前物品；
dp[i][j] = dp[i - 1][j] (weights[i] > j)，当前物品重量大于背包容量，无法选择。
确定遍历顺序，外循环遍历物品i -> 0 ~ length-1，内循环遍历背包容量j -> 1 ~ bagSize，此情况下内外循环的顺序交换不影响结果。
代码实现
public int zeroOneBagProblem(int[] weights, int[] values, int bagSize) {
int n = weights.length;
int[][] dp = new int[n + 1][bagSize + 1];
/**
* 这两步初始化其实可以省略（定义数组时默认值为0）
* 但初次学习背包问题就做了显式初始化。
*/
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
dp[0][j] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
if (j >= weights[i - 1]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
}
else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[n][bagSize];
}
代码优化
状态压缩：对于递推公式 dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - weighti[i]] + values[i], dp[i - 1][j]) ，第 i 层只和第 i - 1 层的状态有关，可以只用一个一维数组表示。
public int zeroOneBagProblem(int[] weights, int[] values, int bagSize) {
int n = weights.length;
/**
* 数组的含义为背包容量j的最大价值总和
*/
int[] dp = new int[bagSize + 1];
for (int i = 0; i < length; i++) {
/**
* 必须倒序遍历背包容量以保证 dp[j - weights[i]] 是上一层的状态，而不是当前层
* 否则会出现同一物品多次放入的状态
*/
for (int j = bagSize, j >= weight[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
}
}
return dp[bagSize];
}
LeeCode 416：分割等和子集
题目描述
给你一个只包含正整数的非空数组
nums。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
建立模型
本题表面是一个回溯的问题，对于每一个元素可以选择添加或者不添加到集合中，回溯过程中判断当前集合的元素和是否等于 sum / 2 。
如何把该问题转化为 01背包问题 呢？
分割数组得到两个等和的子集 \(\Leftrightarrow\) 能否从数组中选择一些元素使其和等于整个数组的一半，且每个元素只能选择一次。
物品 \(\rightarrow\) 数组中的元素，价值和重量都是 nums[i]
背包容量 \(\rightarrow\) sum / 2
确定dp数组及下标含义，数组的含义为从 nums[0] ~ nums[i] 中选取若干整数，是否存在和等于 j 的情况。
初始化dp数组，dp[i][0] = true \(\Rightarrow\) 不选任何元素可使和为0，dp[0][nums[0]] = true \(\Rightarrow\) 只有一个元素可选时，只选该元素对应的和为 true。
确定递推公式：
\[\begin{cases} dp[i][j] = dp[i - 1][j]\ ||\ dp[i - 1][j - nums[i]] \quad (j >= nums[i])\\ dp[i][j] = dp[i - 1][j] \quad (j < nums[i]) \end{cases}
\]
确定遍历顺序，外循环遍历物品i -> 1 ~ n，内循环遍历背包容量j -> 1 ~ sum / 2
代码实现
public boolean canPartition(int[] nums) {
// 考虑特殊情况
if (nums.length == 1) {
return false;
}
int sum = 0;
int max_value = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
max_value = Math.max(num, max_value);
}
if (sum % 2 != 0 || max_value > sum / 2) {
return false;
}
int target = sum / 2;
int n = nums.length;
// 创建 dp 数组
boolean[][] dp = new boolean[n][target + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0] = true;
}
dp[0][nums[0]] = true;
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j <= target; j++) {
if (j >= num[i]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - num[i]];
}
else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[n - 1][target];
}
/**
* 一维dp数组实现
*/
public boolean canPartition(int[] nums) {
// 考虑特殊情况
if (nums.length == 1) {
return false;
}
int sum = 0;
int max_value = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
max_value = Math.max(num, max_value);
}
if (sum % 2 != 0 || max_value > sum / 2) {
return false;
}
int target = sum / 2;
int n = nums.length;
// 创建 dp 数组
boolean[] dp = new boolean[target + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[0] = true;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
LeeCode 1049：最后一块石头的重量II
题目描述
有一堆石头，用整数数组
stones表示。其中stones[i]表示第 i 块石头的重量。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为
x和y，且x <= y。那么粉碎的可能结果如下：如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；如果
x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
建立模型
问题转化 \(\Rightarrow\) 01背包问题
该问题描述等价于选取若干石头使其重量小于等于 sum/2 的最大值，sum 为 stones 数组石头的重量总和。选取石头的重量越接近 sum / 2 ，最近剩余的石头重量就越小。
物品 \(\rightarrow\) 石头，价值和重量都是 stones[i]，且每个石头只能选择一次
背包容量 \(\rightarrow\) sum/2
代码实现
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int stone : stones) {
sum += stone;
}
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - 2 * dp[target];
}
LeeCode 494：目标和
题目描述
给你一个整数数组
nums和一个整数target。向数组中的每个整数前添加
+或-，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加+，在1之前添加-'，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
建立模型
问题转化 \(\Rightarrow\) 01背包问题
该问题描述等价于在数组中选择若干个元素使其和等于 (sum - target) / 2 的不同方法数。我们只需要给这些元素添加负号，数组中其它所有元素添加正号，则可使这个表达式的运算结果为 target。
物品 \(\rightarrow\) 整数数组，重量和价值都是nums[i]，且每个数字只能选择一次
背包容量 \(\rightarrow\) (sum - target) / 2
代码实现
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
if (sum < Math.abs(target) || (sum - target) % 2 != 0) {
return 0;
}
int cur = (sum - target) / 2;
// 数组的含义为从数组中选择元素使其和为 j 的方法数。
int[] dp = new int[cur + 1];
// dp[0][0] = 1, 表示没有任何物品可以选择且和为0的方法数
dp[0] = 1
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = cur; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[cur];
}
LeeCode 474：一和零
题目描述
给你一个二进制字符串数组
strs和两个整数m和n。请你找出并返回
strs的最大子集的长度，该子集中 最多 有m个0和n个1。如果
x的所有元素也是y的元素，集合x是集合y的 子集 。
建立模型
问题转化 \(\Rightarrow\) 01背包问题
本题在经典背包问题的基础上，背包容量被划分为两个维度（0的容量和1的容量），做法是和01背包问题完全一致的。
确定dp数组及下标的含义，数组的含义为最多有 j 个 0 和 k 个 1 的最大子集长度
初始化dp数组 dp[0][0] = 0
确定递推公式：
\[dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - countZero][k - countOne])
\]
确定遍历顺序，外循环遍历物品i->0 ~ length-1，内循环遍历背包容量。
代码实现
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
String s = strs[i];
int countZero = getOneZero(s)[0], countOne = getOneZero(s)[1];
for (int j = m; j >= countZero; j--) {
for (int k = n; k >= countOne; k--) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - countZero][k - countOne] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
public int[] getOneZero(String s) {
int[] res = new int[2];
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
res[s.charAt(i) - '0'] += 1;
}
return res;
}
