[LeetCode] Longest Increasing Path in a Matrix 矩阵中的最长递增路径

Given an integer matrix, find the length of the longest increasing path.

From each cell, you can either move to four directions: left, right, up or down. You may NOT move diagonally or move outside of the boundary (i.e. wrap-around is not allowed).

Example 1:

nums = [

  [9,9,4],

  [6,6,8],

  [2,1,1]

]

Return 4
The longest increasing path is [1, 2, 6, 9].

Example 2:

nums = [

  [3,4,5],

  [3,2,6],

  [2,2,1]

]

Return 4
The longest increasing path is [3, 4, 5, 6]. Moving diagonally is not allowed.

这道题给我们一个二维数组，让我们求矩阵中最长的递增路径，规定我们只能上下左右行走，不能走斜线或者是超过了边界。那么这道题的解法要用递归和DP来解，用DP的原因是为了提高效率，避免重复运算。我们需要维护一个二维动态数组dp，其中dp[i][j]表示数组中以(i,j)为起点的最长递增路径的长度，初始将dp数组都赋为0，当我们用递归调用时，遇到某个位置(x, y), 如果dp[x][y]不为0的话，我们直接返回dp[x][y]即可，不需要重复计算。我们需要以数组中每个位置都为起点调用递归来做，比较找出最大值。在以一个位置为起点用DFS搜索时，对其四个相邻位置进行判断，如果相邻位置的值大于上一个位置，则对相邻位置继续调用递归，并更新一个最大值，搜素完成后返回即可，参见代码如下：

解法一：

class Solution {

public:

    vector<vector<int>> dirs = {{, -}, {-, }, {, }, {, }};

    int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {

        if (matrix.empty() || matrix[].empty()) return ;

        int res = , m = matrix.size(), n = matrix[].size();

        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, ));

        for (int i = ; i < m; ++i) {

            for (int j = ; j < n; ++j) {

                res = max(res, dfs(matrix, dp, i, j));

            }

        }

        return res;

    }

    int dfs(vector<vector<int>> &matrix, vector<vector<int>> &dp, int i, int j) {

        if (dp[i][j]) return dp[i][j];

        int mx = , m = matrix.size(), n = matrix[].size();

        for (auto a : dirs) {

            int x = i + a[], y = j + a[];

            if (x <  || x >= m || y <  |a| y >= n || matrix[x][y] <= matrix[i][j]) continue;

            int len =  + dfs(matrix, dp, x, y);

            mx = max(mx, len);

        }

        dp[i][j] = mx;

        return mx;

    }

};

下面再来看一种BFS的解法，需要用queue来辅助遍历，我们还是需要dp数组来减少重复运算。遍历数组中的每个数字，跟上面的解法一样，把每个遍历到的点都当作BFS遍历的起始点，需要优化的是，如果当前点的dp值大于0了，说明当前点已经计算过了，我们直接跳过。否则就新建一个queue，然后把当前点的坐标加进去，再用一个变量cnt，初始化为1，表示当前点为起点的递增长度，然后进入while循环，然后cnt自增1，这里先自增1没有关系，因为只有当周围有合法的点时候才会用cnt来更新。由于当前结点周围四个相邻点距当前点距离都一样，所以采用类似二叉树层序遍历的方式，先出当前queue的长度，然后遍历跟长度相同的次数，取出queue中的首元素，对周围四个点进行遍历，计算出相邻点的坐标后，要进行合法性检查，横纵坐标不能越界，且相邻点的值要大于当前点的值，并且相邻点点dp值要小于cnt，才有更新的必要。用cnt来更新dp[x][y]，并用cnt来更新结果res，然后把相邻点排入queue中继续循环即可，参见代码如下：

解法二：

class Solution {

public:

    int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {

        if (matrix.empty() || matrix[].empty()) return ;

        int m = matrix.size(), n = matrix[].size(), res = ;

        vector<vector<int>> dirs{{,-},{-,},{,},{,}};

        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, ));

        for (int i = ; i < m; ++i) {

            for (int j = ; j < n; ++j ) {

                if (dp[i][j] > ) continue;

                queue<pair<int, int>> q{{{i, j}}};

                int cnt = ;

                while (!q.empty()) {

                    ++cnt;

                    int len = q.size();

                    for (int k = ; k < len; ++k) {

                        auto t = q.front(); q.pop();

                        for (auto dir : dirs) {

                            int x = t.first + dir[], y = t.second + dir[];

                            if (x <  || x >= m || y <  || y >= n || matrix[x][y] <= matrix[t.first][t.second] || cnt <= dp[x][y]) continue;

                            dp[x][y] = cnt;

                            res = max(res, cnt);

                            q.push({x, y});

                        }

                    }

                }

            }

        }

        return res;

    }

};

参考资料：

https://discuss.leetcode.com/topic/35052/iterative-java-bfs-solution

https://discuss.leetcode.com/topic/34835/15ms-concise-java-solution
 

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