【题集】k倍区间（抽屉原理）

例1：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T444

蓝桥杯
问题描述
　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。
分析：
1、因为(sum[r] - sum[l-1]) % k == 0,可推出sum[r] % k == sum[l - 1] % k.
2、因此，将前缀和分别对K取模。
3、分别统计出取模后的各数字的个数。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 100000 + 10;

int sum[MAXN];

int cnt[MAXN];

int main(){

    int N, K;

    scanf("%d%d", &N, &K);

    for(int i = 0; i < N; ++i){

        scanf("%d", &sum[i]);

    }

    sum[0] %= K;

    for(int i = 1; i < N; ++i){

        sum[i] = ((sum[i] % K) + sum[i - 1]) % K;

    }

    LL ans = 0;

    for(int i = 0; i < N; ++i){

        ans += cnt[sum[i]]++;

    }

    printf("%lld\n", ans + cnt[0]);

    return 0;

}

例2：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-3370

题意：每个邻居可以给ai个糖，共n个邻居，问向哪几个邻居要糖可以正好被c个孩子平分。

分析：此题和例1解法相似。

若sum[i] % c == 0，则[1, i]可以被c整除；

若sum[l - 1] % c == sum[r] % c，则[l, r]可以被c整除；

由于输出任意一种答案即可，那会不会存在一种可能，就是答案都不是连续的区间，而是不连续的区间呢？

由于本题中c<=n，因此一定存在连续区间的解。

原因在于，

若sum[i]能被c整除，一定存在连续区间的解[1, i]；

若sum[i]不能被c整除，则sum[i]%c可能的结果在[1, c-1]里，共c-1种可能，而c-1<n，根据抽屉原理，因此一定存在一对i, j，使得sum[i] % c == sum[j] % c,即存在连续区间解[i + 1, j].

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 100000 + 10;

int sum[MAXN];

int id[MAXN];

int main(){

    int c, n;

    while(scanf("%d%d", &c, &n) == 2){

        if(!c && !n) return 0;

        memset(sum, 0, sizeof sum);

        memset(id, 0, sizeof id);

        for(int i = 1; i <= n; ++i){

            scanf("%d", &sum[i]);

        }

        sum[1] %= c;

        for(int i = 2; i <= n; ++i){

            sum[i] = ((sum[i] % c) + sum[i - 1]) % c;

        }

        int st, et;

        for(int i = 1; i <= n; ++i){

            if(sum[i] == 0){

                st = 1;

                et = i;

                break;

            }

            if(id[sum[i]]){

                st = id[sum[i]] + 1;

                et = i;

                break;

            }

            id[sum[i]] = i;

        }

        for(int i = st; i <= et; ++i){

            printf("%d", i);

            if(i == et) printf("\n");

            else printf(" ");

        }

    }

    return 0;

}

例3：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2356

分析：与例2相似，因为N-1 < N，所以一定存在连续区间的解。

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 15000 + 10;

int a[MAXN];

int sum[MAXN];

int id[MAXN];

int main(){

    int n;

    scanf("%d", &n);

    for(int i = 1; i <= n; ++i){

        scanf("%d", &a[i]);

    }

    sum[1] = a[1] % n;

    for(int i = 2; i <= n; ++i){

        sum[i] = ((a[i] % n) + sum[i - 1]) % n;

    }

    int st, et;

    for(int i = 1; i <= n; ++i){

        if(sum[i] == 0){

            st = 1;

            et = i;

            break;

        }

        if(id[sum[i]]){

            st = id[sum[i]] + 1;

            et = i;

            break;

        }

        id[sum[i]] = i;

    }

    printf("%d\n", et - st + 1);

    for(int i = st; i <= et; ++i){

        printf("%d\n", a[i]);

    }

    return 0;

}

　　

【题集】k倍区间（抽屉原理）的相关教程结束。