论文名称：context-aware learning of hierarchies of low-fidelity models for multi-fidelity uncertainty quantification
链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782523000312
国际计算力学领域的顶级期刊《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》（中科院一区 TOP，IF：6.756）
0 abstract
背景：
multi-fidelity Monte Carlo 方法利用 low-fidelity and surrogate models 来减少方差（variance），使不确定性量化变得可行，尽管物理系统的 high-fidelity 数值模拟计算成本很高。
工作简述：
我们提出了一种 context-aware 的 multi-fidelity Monte Carlo 方法，实现了训练 low-fidelity 模型的成本和 Monte Carlo 采样的成本之间的最佳平衡。
当训练 low-fidelity 模型时，我们考虑到了所学的 low-fidelity 模型将被使用的背景，即在 Monte Carlo 估计中减少方差，这使得它能够在训练和抽样之间找到最佳的权衡，以最小化给定计算预算（computational budget）下估计器的均方误差（mean-squared error）上限。
继承了之前的工作：
它将以前开发的 context-aware bi-fidelity Monte Carlo 方法，推广到多个模型的层次结构 和 更普遍的 low-fidelity 模型类型，如 sparse-grid（比如说 PDE 仿真的网格粒度粗一点）和 deep-network。
文献树上的位置：
我们与传统的 surrogate modeling 和 model reduction 技术不一样，后者构建 low-fidelity 模型的主要目的是为了很好地接近 high-fidelity 模型的输出，通常忽略了所学模型在 upstream tasks 中的 context。
实验结果：
用陀螺动力学模拟代码 Gene 进行的数值实验表明，在做一个不确定性量化时，与 single-fidelity Monte Carlo 和 standard multi-fidelity estimators 相比，速度提高了两个数量级：相当于在德州高级计算中心 Lonestar6 超级计算机的一个节点上，运行时间从 72 天减少到 4 小时。
1 intro & related method
literature：[1] 是一个 Multi-Fidelity 的 survey。其他 literature 懒得整理了。
motivation：如果没有现成的 low-fidelity model，那么就需要首先训练得到它们，这可能会产生额外的计算成本，并且需要对 high-fidelity model 进行额外的评估，以产生训练数据。
main idea：该方法将 ① 训练多个 low-fidelity 模型的层次的成本 ② 蒙特卡洛采样以获得多保真估计器的成本进行 trade-off，在给定的 computational budget 下，使均方误差（mean-squared error）的上限最小（context-aware：最大限度地减少蒙特卡罗估计的方差），而不是尽可能接近 high-fidelity model。
structure：
2：preliminaries，介绍符号定义，传统的 multi-fidelity Monte Carlo 算法，他们之前做的一个 bi-fidelity context-aware 算法。
3：method。
4：两个 experiment，1 具有九个不确定参数的二维空间域上的热传导问题，2 具有不确定输入的现实等离子体微扰动情况。数值结果的代码：https://github.com/ionutfarcas/context-aware-mfmc
2 背景 & 前情提要
2.1 背景：static multi-fidelity Monte Carlo estimation
\(f^{(0)}:X→Y\) 是一个输入-输出响应（input-output response），expensive to evaluate。输入为 d 维，输出为 1 维。
对一个随机变量 Θ=[Θ1,Θ2,...,Θd]^T，我们想估计 f^(0)(Θ) 的期望值 μ0。
MFMC（multi-fidelity Monte Carlo）estimator 包含 k+1 个模型，f^(0) high-fidelity，f^(1) ... f^(k) low-fidelity。
low-fidelity model 的精度 ρ：用 f^(j) 对 f^(0) 的 Pearson correlation coefficient 来定义：\(\rho_j = Cov[f^{(0)}, f^{(j)}]/σ_0σ_j\)，其中 σ 是方差（variance）。设定 ρ_k+1 = 0。
models 的评估成本：w1, w2, ..., wk＞0。归一化 high-fidelity f^(0) 的评估成本 w0 = 1。
假设模型们满足排序：精度：1 = |ρ0|＞|ρ1|＞…＞|ρk|；评估成本：\(w_{j-1}/w_{j}\gt[ρ^2_{j-1}-ρ^2_j]/[ρ^2_{j}-ρ^2_{j+1}]\)。
设 m_j 为 model f^(j) 的评估次数，0 ≤ m0 ≤ m1 ≤ … ≤ m_k。每一次评估都从独立同分布（iid）的分布 \(\pi\) 里抽样。
于是 MFMC estimator 形式：\(\hat E^{MFMC} = \hat E_{m_0}^{(0)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j(\hat E_{m_j}^{(j)}-\hat E_{m_{j-1}}^{(j)})\)，其中 $\hat E_{m_j}^{(j)}=\frac 1 {m_0}f^{(0)}(\boldsymbol\theta_i) $ 即 f(θ) 的均值。
总 computational cost： \(p=\sum_{j=0}^km_jw_j\)。
我们把 p 固定（budget），去找最优的 \(m_0^*, \cdots, m_k^*\) 以及 \(\alpha_0^*, \cdots, \alpha_k^*\)，来让 \(\hat E^{MFMC}\) 的方差最小。
\(\hat E^{MFMC}\) 的 MSE = \(\frac {\sigma_0^2}p\bigg(\sum_{j=0}^k\sqrt{w_j(\rho_j^2-\rho_{j+1}^2)}\bigg)^2\)。
其实是有闭式解的，见 [14]。
2.2 前情提要：context-aware bi-fidelity Monte Carlo estimator
他们之前做的 context-aware bi-fidelity MC estimator 的工作是 [2]。
改了一下 notation： low-fidelity model \(f_n^{(1)}\) 表示训 f^(1) 需要用 high-fidelity f^(0) 的 n 个样本。
假设所有 low-fidelity model 都是用相同的 NN 来训，唯一不同的是训练样本数量，那么 Pearson 系数 ρ1 和评估成本 w1 都取决于 n。
【这是假设 assumption】Pearson 系数的 bound：\(1-\rho_1^2(n)\le c_1n^{-\alpha}\)；评估成本的 bound：\(w_1(n)\le c_2n^\beta\)；其中 c1 c2 α＞0 β＞0 都是常数。
我们的 budget 是 p。如果用 n 个样本训练 f^(1)，那么还有 p-n 的预算用于 f^(1) 的评估。
context-aware bi-fidelity MC estimator： \(\hat E_n^{CA-MFMC}=\hat E_{m_0^*}^{(0)}+\alpha_1^*(E_{m_1^*}^{(1)}-E_{m_0^*}^{(1)})\) ，决策变量为 \(m_0^*, m_1^*, α_1^*\) ，目标函数为最小化 \(\hat E_n^{CA-MFMC}\) 的 MSE。
\(\hat E_n^{\rm CA-MFMC}\) 的 MSE = \(\frac{\sigma_0^2}{p-n}\bigg(\sqrt{1-\rho_1^2(n)}+\sqrt{w_1(n)\rho_1^2(n)}\bigg)^2\) （公式 2.6）。
如果预算 p 是固定的，n 可以通过最小化 MSE 的上界来选择。
上界： \(\rm {MSE}(\hat E_n^{CA-MFMC})\le\frac{2\sigma_0^2}{p-n}(c_1n^{-\alpha}+c_2n^\beta)\) 。
工作 [2] 表明，在某些假设下，给定一个 p，存在一个唯一的 n∗，最小化(2.6)；然而，n∗ 没有闭式解，只能数值寻找。
最佳的 n∗ 是独立于预算 p 的。
3 method
3.1 一些关于 multi-fidelity models 的假设
假设 1：存在 \(c_{a,j}\ge0\)，函数 \(r_{a,j}(n_j)\) 值为正数、对 n_j 单调递减、二次可微。限制精度（Pearson 系数）： \(1-ρ_j^2(n_j)\le c_{a,j}r_{a,j}(n_j)\)。
假设 2：存在 \(c_{c,j}\ge0\)，函数 \(r_{c,j}(n_j)\) 值为正数、对 n_j 单调递增、二次可微。限制评估成本： \(w_j(n_j)\le c_{c,j}r_{c,j}(n_j)\)。
貌似，假设两个 r 函数为： \(r_{a,j}=n^{-\alpha},r_{c,j}=n^\alpha,\alpha\gt0\) 。
一个备注：事实上，如果一组数据拿去训 f^(i)，那么也有可能可以拿去训 f^(j)；不过，更有可能的一种情况是，两个模型结构不一样，需要的训练数据结构也不一样，所以不能重用，所以，下文都不考虑样本的重用。
3.2 只用一个 low-fidelity 模型：[2] 基础上的改进
首先，放缩 \(\rm MSE(\hat E_n^{CA-MFMC})\le\frac{2\sigma_0^2}{p-n}(c_{a,1}r_{a,1}(n_1)+c_{c,1}r_{c,1}(n_1))\)，将它记为 u1。接下来，我们关心这个 upper bound 何时存在唯一的全局最小值。
PS：证明直接看原文吧，本科高数难度。
命题 1 ：u1 何时存在唯一的全局最小值：
假设满足 \(c_{a,1}r''_{a,1}(n_1)+c_{c,1}r''_{c,1}(n_1)\gt0\)【公式 (3.6)】。那么，u1 具有唯一的全局最小值 \(n_1^*\in[1,p-1]\)。
命题 2 ：假设对于所有 \(n_1\in(0,\infty)\) 满足 公式 (3.6)，
并且存在一个 \(\bar n_1\in(0,\infty)\) 使得 \(c_{a,1}r_{a,1}(\bar n_1)+c_{c,1}r'_{c,1}(\bar n_1)=0\)。那么 \(\bar n_1\) 是唯一的，并且 \(n_1^*\le\max\{1,\bar n_1\}\)。
3.3 context-aware multi-fidelity MC sampling
一种 sequential 训练方法，来为 CA-MFMC estimator 拟合 hierarchies of low-fidelity models，其中每一步都实现了 training 和 sampling 之间的 optimal trade-off。
我主要关心 context-aware 是什么东西。
引理 1：在假设 1 假设 2 下，CA-MFMC estimator 的 MSE 的 upper bound：
\(\rm MSE(\hat E_{n_1,\cdots,n_k}^{CA-MFMC}) \le \frac{(k+1)\sigma_0^2}{p_{k-1}-n_k}(\kappa_{k-1}+\hat c_{a,k}r_{a,k}(n_k)+c_{c,k}r_{c,k}(n_k))\) 。
其中 \(p_{k-1}=p-\sum_{j=1}^{k-1}n_j,~~p_0=p\) ，
\(\kappa_{k-1}=c_{a,1}r_{a,1}(n_1)+\sum_{j=1}^{k-2}c_{c,j}r_{c,j}(n_j)c_{a,j+1}r_{a,j+1}(n_{j+1}),~~\kappa_0=0\) ，
\(\hat c_{a,k} = c_{c,k-1}r_{c,k-1}(n_{k-1})c_{a,k},~~\hat c_{a,1} =c_{a,1}\) 。
（重申：n 是训 low-fidelity model 的样本数量）
证明：直接用一个 平方和不等式 展开。
看这个 upper bound 括号内加和的部分，\(\hat c_{a,k}\) 和 \(κ_{k-1}\) 都仅依赖于 \(n_1, \cdots,n_{k-1}\)，而 \(r_{a,k}(n_k),~r_{ck}(n_k)\) 仅依赖于 n_k。这启发了一种 sequentially 向 CA-MFMC estimator 添加 low-fidelity model 的做法。
给定 \(n_1, \cdots,n_{k-1}\)，寻找 \(n_k\)，使得 \(u_j(n_j;n_1, \cdots,n_{k-1}):[1,p_{j-1}-1]\rightarrow(0,\infty)\)，\(u_j(n_j;n_1, \cdots,n_{k-1})=\frac1{p_{j-1}-n_j}(\kappa_{j-1}+\hat c_{a,j}r_{a,j}(n_j)+c_{c,k}r_{c,k}(n_j))\)。
命题 3：使用命题 1，即 \(n_1^*\) 是 u1 的全局最小值。现在去考虑 j = 2,3,...,k。
若 \(\hat{c}_{a, j} r_{a, j}^{\prime \prime}\left(n_j\right)+c_{c, j} r_{c, j}^{\prime \prime}\left(n_j\right)>0\)，则存在 u_j 的全局最小值 \(n_j^* \in\left[1, p_{j-1}-1\right]\)。
证明好像跟命题 1 同理。
命题 4：使用命题 1，即 \(n_j^*\) 是 u_j 的全局最小值。
若存在 \(\bar{n}_j \in(0, \infty)\) 使得 \(\hat{c}_{a, j} r_{a, j}^{\prime}\left(\bar{n}_j\right)+c_{c, j} r_{c, j}^{\prime}\left(\bar{n}_j\right)=0\)，则有 \(n_j^* \leq \bar{n}_j\)，即 \(n_j^*\) 的一个 upper bound。
继续跟命题 2 同理，归纳法。
一个备注：models 的 hierarchy 必须满足评估次数 m 递减（2.1）。
啊…… 这就结束了？感觉看了一肚子数学…
4 experiment
图挺好看的。
要赶着看 MFRL 了，不细看了。
