LOJ575. 「LibreOJ NOI Round #2」不等关系 [容斥，分治FFT]

LOJ

思路

发现既有大于又有小于比较难办，使用容斥，把大于改成任意减去小于的。

于是最后的串就长成这样：<<?<?<??<<<?<。我们把一段连续的<称作一条链。如果枚举大于号变成什么，那么最后的答案很容易算，就是\(\frac {n!}{\prod len!}\)。

\(dp_i\)表示前\(i\)个位置分成若干条链，带上容斥系数的方案数。

\(dp_i\)从\(dp_j\)转移，即\([j+1,i]\)这些位置用<连接，并且需要满足\(s_j\)为>。此时把这个>容斥成?，\([j+1,i]\)里面的>搞成<，即可转移。

记\(cnt_i\)表示\(s\)的前\(i\)个的>的位置个数，那么有

\[dp_i=\sum_{j} [s_j\ is\ >]dp_j \times (-1)^{cnt_{i-1}-cnt_{j}} \times \frac{1}{(j-i)!}
\]

分治FFT优化，没了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

clock_t t=clock();

namespace my_std{

    using namespace std;

    #define pii pair<int,int>

    #define fir first

    #define sec second

    #define MP make_pair

    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)

    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)

    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)

    #define templ template<typename T>

    #define sz 401001

    #define mod 998244353ll

    typedef long long ll;

    typedef double db;

    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}

    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}

    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}

    templ inline void read(T& t)

    {

        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;

        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();

        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();

        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}

        t=(f?-t:t);

    }

    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}

    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;

    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}

    inline void print(register int x)

    {

        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;

        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);

        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';

    }

    void file()

    {

        #ifdef NTFOrz

        freopen("a.in","r",stdin);

        #endif

    }

    inline void chktime()

    {

        #ifndef ONLINE_JUDGE

        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';

        #endif

    }

    #ifdef mod

    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}

    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}

    #else

    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}

    #endif

//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}

}

using namespace my_std;

int n;

char s[sz];

ll dp[sz];

int cnt[sz];

ll fac[sz],_fac[sz];

void init(){_fac[0]=fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}

int limit,r[sz];

void NTT_init(int n)

{

	limit=1;int l=-1;

	while (limit<=n+n) limit<<=1,++l;

	rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);

}

void NTT(ll *a,int type)

{

	rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);

	for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)

	{

		ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);

		for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)

		{

			ll w=1;

			for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)

			{

				ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;

				a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;

			}

		}

	}

	if (type==1) return;

	ll I=inv(limit);

	rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;

}

ll tmp1[sz],tmp2[sz];

void solve(int l,int r)

{

	if (l==r) { if (l==0) return (void)(dp[l]=1); dp[l]=dp[l]*ksm(mod-1,cnt[l-1]+(l!=n+1?cnt[l]:0))%mod; return; }

	int mid=(l+r)>>1;

	solve(l,mid);

	rep(i,l,mid) if (s[i]!='<') tmp1[i-l]=dp[i];

	rep(i,0,r-l+1) tmp2[i]=_fac[i];

	NTT_init(r-l+1);

	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);

	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;

	NTT(tmp1,-1);

	rep(i,mid+1,r) (dp[i]+=tmp1[i-l])%=mod;

	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;

	solve(mid+1,r);

}

int main()

{

    file();

    init();

	cin>>(s+1);n=strlen(s+1)+1;

	rep(i,1,n-1) cnt[i]=cnt[i-1]+(s[i]=='>');

	solve(0,n);

	cout<<dp[n]*fac[n]%mod;

	return 0;

}

LOJ575. 「LibreOJ NOI Round #2」不等关系 [容斥，分治FFT]的相关教程结束。