NOIP2009普及组

T3】细胞分裂

【算法】数论

【题解】均分的本质是A整除B，A整除B等价于A的质因数是B的子集。

1.将m1分解质因数，即m1=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak

所以M=m1^m2=p1^(a1*m2)*p2^(a2*m2)*...*pk^(ak*m2)

2.如果s[i](细胞初始个数)不能被M分解出来的质因数（即p1,p2...pn）中的某一个整除的话，这种细胞就永远不可能装入M个瓶子中

换句话说，如果s[i]分解出来的质因数不能包含M的所有质因数的话，就永远不能整除M（即使乘方(分裂)后）。

当然并不需要真的把s[i]分解为质因数，只要有一个s[i]%pj(j=1..k)!=0就说明是-1。

3.确定不是-1后，需要计算最小分裂时间。

当s[i]^ans中包含的每个pi的个数(假设为bi)比M中包含的pi的个数（即ai*m2）多时，就能被M整除。

所以就是找到最小的ans，使每个bi>=(ai*m2)（i=1...n）。

这个ans=ceil(a[i]*m2/b[i]) (只适用于a[i]*m2比b[i]大时)(ceil表示向上取整)

在所有s[i]中寻找最小的ans就是答案。

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<cctype>

//https://www.cnblogs.com/onioncyc/p/5766587.html

//其实是一个数论的题目，质因数分解

using namespace std;

const int maxm=30010,maxn=10010,inf=0x3f3f3f3f,eps=1e-6;

int pri[maxm],num[maxm],num2[maxm],s[maxn],tot=0,n,m,m2,ans;

int main(){

	scanf("%d %d %d",&n,&m,&m2);

	/*

	将m1分解质因数，即m1=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak

所以M=m1^m2=p1^(a1*m2)*p2^(a2*m2)*...*pk^(ak*m2)

	*/

	for(int i=2;i*i<=m;i++){

		if(m%i==0){

			pri[++tot]=i;

			while(m%i==0){

				m/=i;

				num[tot]++;

			}

		}

	}

	if(m!=1) {

		pri[++tot]=m;num[tot]=1;

	}

	for(int i=1;i<=tot;i++) num[i]*=m2;

	ans=inf;

	/*

	如果s[i](细胞初始个数)不能被M分解出来的质因数（即p1,p2...pn）中的某一个整除的话，这种细胞就永远不可能装入M个瓶子中

换句话说，如果s[i]分解出来的质因数不能包含M的所有质因数的话，就永远不能整除M（即使乘方(分裂)后）。

当然并不需要真的把s[i]分解为质因数，只要有一个s[i]%pj(j=1..k)!=0就说明是-1。

	*/

	for(int i=1;i<=n;i++){

		scanf("%d",&s[i]);

		bool f=0;

		memset(num2,0,sizeof(num2));

		for(int j=1;j<=tot;j++){

			if(s[i]%pri[j]!=0) f=1;

		}

		if(f) continue;

		/*

		3.确定不是-1后，需要计算最小分裂时间。

当s[i]^ans中包含的每个pi的个数(假设为bi)比M中包含的pi的个数（即ai*m2）多时，就能被M整除。

所以就是找到最小的ans，使每个bi>=(ai*m2)（i=1...n）。

这个ans=ceil(a[i]*m2/b[i]) (只适用于a[i]*m2比b[i]大时)(ceil表示向上取整)

在所有s[i]中寻找最小的ans就是答案。

		*/

		for(int j=1;j<=tot;j++){

			while(s[i]%pri[j]==0){

				num2[j]++;

				s[i]/=pri[j]; //s[i]中包含pi的个数

			}

		}

		int maxs=0;

		for(int j=1;j<=tot;j++){

			if(num[j]>num2[j]){

				//num[j]是a[i]*m2  num2[j]是b[i]

				maxs=max(maxs,(int)(ceil(1.0*num[j]/num2[j])+eps));

			}

		}

		ans=min(ans,maxs);

	}

	if(ans==inf) ans=-1;

	printf("%d",ans);

	return 0;

}

T4】道路游戏

听起来比较复杂

但是看得出来数据范围不太大，可以试一试暴力，用二维数组存

其实有点像dp,用f[i]表示i这个时刻能够得到的最大值

最外层枚举时间，第二次枚举结尾的地方，第三层枚举走过的时间，就自然得出了出发的地方，在出发的地方买就能得到一个比较的值

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<stack>

#include<cstdio>

#include<queue>

#include<map>

#include<vector>

#include<set>

using namespace std;

const int maxn=1010;

const int INF=0x3fffffff;

int cost[maxn];

int value[maxn][maxn]; //地点对应时间出现的价值

int f[maxn]; //状态压缩至一维的，表示时间i能够取得的最大值，枚举到达结尾和走过的距离k,然后找到最大值

int n,m,p;

int main(){

	scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);

	for(int i=1;i<=n;i++){

		for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&value[i][j]);

	}

	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&cost[i]);

	memset(f,0x9f,sizeof(f));

	f[0]=0;

	for(int i=1;i<=m;i++){ //时间

		for(int j=1;j<=n;j++){ //结尾的地点

			int summ=0; //直接增加枚举从j走到d的值，不用数组存，也不用数组计算，不然太麻烦

			for(int k=1;k<=p&&k<=i;k++){

				int d=j-k;

				if(d<=0) d=d%n+n;

				summ+=value[d][i-k+1];

				f[i]=max(f[i],f[i-k]+summ-cost[d]); //从d买，然后走k

			}

		}

	}

	printf("%d\n",f[m]);

return 0;

}

T3】细胞分裂

T4】道路游戏