题面（骑士共存问题）
在一个 \(n \times n\) 个方格的国际象棋棋盘上，马（骑士）可以攻击的棋盘方格如图所示。棋盘上某些方格设置了障碍，骑士不得进入。
对于给定的 \(n \times n\) 个方格的国际象棋棋盘和 \(m\) 个障碍标志，计算棋盘上最多可以放置多少个骑士，使得它们彼此互不攻击。
对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n \leq 200\)，\(0 \leq m \lt n^2\)。
思路
二分图的最大独立集。
先对这个棋盘进行黑白染色，然后发现，同颜色的格子的马永远无法互相攻击。
首先，先创立源点 \(s\)，汇点 \(t\)。
然后对于白点 \((i,j)\)，连边 \((s,(i,j),1)\)。对于黑点 \((k,l)\)，连边 \(((k,l),t,1)\)，对于可以互相攻击的点 \((a,b),(c,d)\)，连边 \(((a,b),(c,d),+\infty)\)。
然后求最大独立集。
代码
P3355 骑士共存问题
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,s,t;
struct edge{
int from,to,val;
}e[2000001];int head[2000001],cur[2000001],siz=1;
void addedge(int x,int y,int z){
e[++siz].to=y,e[siz].val=z;
e[siz].from=head[x],head[x]=siz;
}
void add(int x,int y,int z){
addedge(x,y,z);
addedge(y,x,0);
}
int gap[2000001];
bool bfs(){
memset(gap,0,sizeof(gap));
fill(gap+1,gap+1+n,0);
queue<int> q;
q.push(s);
gap[s]=1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=head[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&!gap[u]){
gap[u]=gap[now]+1;
q.push(u);
}
}
}
return (gap[t]);
}
int dfs(int now,int val){
if(now==t) return val;
for(int &i=cur[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&gap[now]+1==gap[u]){
int F=dfs(u,min(e[i].val,val));
if(F){
e[i].val-=F;
e[i^1].val+=F;
return F;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(){
int ret=0;
while(bfs()){
copy(head,head+1+n,cur);
int F=0;
while(F=dfs(s,10000000000000)){
ret+=F;
}
}
return ret;
}
int knight[100000][1000];
int mk(int x,int y){
x--;
return (x*n+y);
}
int delta[][2]={{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{2,1},{2,-1},{-2,1},{-2,-1}};
bool valid(int x){
return (x>=1)&&(x<=n);
}
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
cin>>x>>y;
knight[x][y]=1;
}
s=0,t=n*n+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if((i+j)%2&&!knight[i][j]){
add(s,mk(i,j),1);
}
if(!((i+j)%2)&&!knight[i][j]){
add(mk(i,j),t,1);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if((i+j)%2==0){
continue;
}
for(int k=0;k<8;k++){
int tx=i+delta[k][0];
int ty=j+delta[k][1];
if(valid(tx)&&valid(ty)){
if(!knight[tx][ty]){
add(mk(i,j),mk(tx,ty),INT_MAX);
}
}
}
}
}
n=n*n;
cout<<n-m-dinic()<<'\n';
return 0;
}
P4304 [TJOI2013]攻击装置
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,s,t;
struct edge{
int from,to,val;
}e[200001];int head[200001],cur[200001],siz=1;
void addedge(int x,int y,int z){
e[++siz].to=y,e[siz].val=z;
e[siz].from=head[x],head[x]=siz;
}
void add(int x,int y,int z){
addedge(x,y,z);
addedge(y,x,0);
}
int gap[200001];
bool bfs(){
memset(gap,0,sizeof(gap));
fill(gap+1,gap+1+n,0);
queue<int> q;
q.push(s);
gap[s]=1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=head[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&!gap[u]){
gap[u]=gap[now]+1;
q.push(u);
}
}
}
return (gap[t]);
}
int dfs(int now,int val){
if(now==t) return val;
for(int &i=cur[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&gap[now]+1==gap[u]){
int F=dfs(u,min(e[i].val,val));
if(F){
e[i].val-=F;
e[i^1].val+=F;
return F;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(){
int ret=0;
while(bfs()){
copy(head,head+1+n,cur);
int F=0;
while(F=dfs(s,10000000000000)){
ret+=F;
}
}
return ret;
}
int knight[10000][1000];
int mk(int x,int y){
x--;
return (x*n+y);
}
int delta[][2]={{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{2,1},{2,-1},{-2,1},{-2,-1}};
bool valid(int x){
return (x>=1)&&(x<=n);
}
int gc(){
char ch;
do{
ch=getchar();
}while(!isdigit(ch));
return ch-'0';
}
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
knight[i][j]=gc();
m+=knight[i][j];
}
}
s=0,t=n*n+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if((i+j)%2&&!knight[i][j]){
add(s,mk(i,j),1);
}
if(!((i+j)%2)&&!knight[i][j]){
add(mk(i,j),t,1);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if((i+j)%2==0){
continue;
}
for(int k=0;k<8;k++){
int tx=i+delta[k][0];
int ty=j+delta[k][1];
if(valid(tx)&&valid(ty)){
if(!knight[tx][ty]){
add(mk(i,j),mk(tx,ty),INT_MAX);
}
}
}
}
}
n=n*n;
cout<<n-m-dinic()<<'\n';
return 0;
}
习题：P5030 长脖子鹿放置
题面
众周所知，在西洋棋中，我们有城堡、骑士、皇后、主教和长脖子鹿。
如图所示，西洋棋的“长脖子鹿”，类似于中国象棋的马，但按照“目”字攻击，且没有中国象棋“别马腿”的规则。（因为长脖子鹿没有马腿）
给定一个\(N * M\),的棋盘，有 \(k\) 个格子禁止放棋子。问棋盘上最多能放多少个不能互相攻击的长脖子鹿。
对于\(100\)%的数据，\(1 ≤ N,M ≤ 200\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,s,t;
struct edge{
int from,to,val;
}e[2000001];int head[2000001],cur[2000001],siz=1;
void addedge(int x,int y,int z){
e[++siz].to=y,e[siz].val=z;
e[siz].from=head[x],head[x]=siz;
}
void add(int x,int y,int z){
addedge(x,y,z);
addedge(y,x,0);
}
int gap[2000001];
bool bfs(){
memset(gap,0,sizeof(gap));
fill(gap+1,gap+1+n,0);
queue<int> q;
q.push(s);
gap[s]=1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=head[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&!gap[u]){
gap[u]=gap[now]+1;
q.push(u);
}
}
}
return (gap[t]);
}
int dfs(int now,int val){
if(now==t) return val;
for(int &i=cur[now];i;i=e[i].from){
int u=e[i].to;
if(e[i].val&&gap[now]+1==gap[u]){
int F=dfs(u,min(e[i].val,val));
if(F){
e[i].val-=F;
e[i^1].val+=F;
return F;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(){
int ret=0;
while(bfs()){
copy(head,head+1+n,cur);
int F=0;
while(F=dfs(s,10000000000000)){
ret+=F;
}
}
return ret;
}
int knight[100000][1000];
int mk(int x,int y){
x--;
return (x*m+y);
}
int delta[][2]={{1,3},{1,-3},{-1,3},{-1,-3},{3,1},{3,-1},{-3,1},{-3,-1}};
bool valid(int x){
return (x>=1)&&(x<=n);
}
bool validy(int x){
return (x>=1)&&(x<=m);
}
int kkk,k;
signed main(){
cin>>n>>m>>kkk;
for(int i=1;i<=kkk;i++){
int x,y;
cin>>x>>y;
if(!knight[x][y]){
k++;
}
knight[x][y]=1;
}
s=0,t=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if((i)%2){
add(s,mk(i,j),1);
}
if(!((i)%2)){
add(mk(i,j),t,1);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(knight[i][j]){
continue;
}
if((i)%2==0){
continue;
}
for(int k=0;k<8;k++){
int tx=i+delta[k][0];
int ty=j+delta[k][1];
if(valid(tx)&&validy(ty)){
if(!knight[tx][ty]){
add(mk(i,j),mk(tx,ty),1);
}
}
}
}
}
n=n*m;
cout<<n-k-dinic()<<'\n';
return 0;
}
![gym101522 [小熊骑士限定]La Salle-Pui Ching Programming Challenge 培正喇沙編程挑戰賽 2017](https://www.kunjuke.com/file/css/thumb/9.jpg/280-180.jpg)
