字符串 ac自动姬

前言

省选临近，不能再颓了！ 说着开始研究起moonlight串流。真香

本期博客之所以在csdn上发了一份，因为没有图床！如果有图床我一定会自力更生的！

好像和字符串没有毛关系

总之，为了备考省选，特地温习了一下ac自动姬

介绍

ac自动姬是一种多模匹配算法。说的直白一点，就是kmp的升级版，同时进行多个kmp。

说是多个kmp，其实它更多的借鉴的是kmp的思想，而不是算法。不会kmp可能可以理解ac自动姬，就像是不会加法也有可能理解乘法（多个加法）；但是像线段树和树链剖分就有着严格的先后顺序，不可能在没有掌握线段树时就能理解树链剖分。

注：

trie树为必备知识，不懂trie树的童鞋请先学习trie树！(●ˇ∀ˇ●)
kmp为非必备，学习完kmp再学习ac自动姬会更加深刻的理解

理论中的理论部分

对于多模匹配，我们肯定需要将模式串存储下来。怎么存？trie树呗

我们以一下模式串作为例子：

test

testt

est

好了，用trie树，我们把所有的模式串存了下来。

存完模式串，我们就开始匹配。随着主串的不断匹配，我们可以将匹配结果归纳如下：

假如当前匹配节点存在通向下一个节点的边，那么就转移

否则就是找不到下一个节点，那么就要按照失配来处理

这时就需要引入一种概念，“失配指针”。

什么是失配指针？失配指针就是当前点失配后，转移到的另外一个节点。（不太好理解，接着看下去）参照kmp理解一下失配指针

对象	kmp	ac自动姬
失配指针	最长公共前后缀的坐标	trie树深度最深的合法坐标

还是不好理解？我们先把上述例子中的失配指针构建出来

照着图接着分析分析

参照kmp单模匹配。在kmp中，相当于只有左侧(\(root \Rightarrow t \Rightarrow e \Rightarrow s \Rightarrow t\))的这一条链。我们不断的找“最长公共前后缀”，是为了最大化利用我们已经匹配过的部分。

我们之所以要找“公共前后缀”，就是为了使得下一次匹配的对象是合法的。后缀与前缀重合，说明这段后缀可能作为下一个匹配的前缀被利用

而我们之所以要找“最长”的那一个，就是为了最大化的利用这个信息。假如当前公共前后缀存在不同的两个，且\(l_1<l_2\)。那么\(l_1\)长度的串一定包含在\(l_2\)长度的串中。如果\(l_2\)再次失配，它可以跳到\(l_1\)上，但是\(l_1\)失配，它却无法跳到\(l_2\)上

提供样例：ababa

“aba”与“a”分别是两个公共前后缀

“a”包含在“aba”中

好了，情况扩展到了ac自动姬多模匹配上。在多模匹配上就相当于提供了更多的可能来实现“最长公共前后缀”，一定要在保证“公共前后缀”的基础上尽可能“最长”，这样才能不浪费已经匹配出来的信息

理论中的代码部分

好了，基础的理论有了，我们就要开始实现。

回顾算法，主要难点分为两部分：构建fail指针和匹配

构建fail指针

显然，我们在构建一个某一个节点的fail指针时，一定要事先求出来了所有深度小于这个节点的fail指针。换言之所有的fail只和深度小于这个点的节点有关联。

所有深度一致的先搜出来，保证深度按递增顺序搜出来...BFS!! 不难发现BFS就可以完美满足所有上述要求

我们取奔波最远的一个指针作为例子

在这个例子中，紫色的c为了获得fail指针，一共移动了两次

第一次：从c的父节点的fail指针开始寻找，发现第一个"b"下面并没有"c"，接着转移

第二次：转移到了第二个b，发现这次，b下面接了一个c,那么就为这个c找到了失配指针

否则，假如到头了仍然没有找到，就将fail指针设为root即可

代码：

void getfail(){

    //单独处理根节点

    fail[root]=-1;

    queue <int> line; line.push(root);

    while(!line.empty()){

        int u=line.front(); line.pop();

        for(int i=0;i<=25;++i){

            if(ch[u][i]){  //假如u节点后面跟着i节点

                line.push(ch[u][i]);

                int tmp=fail[u];

                //如果一下就到头了

                if(tmp==-1){

                    fail[ch[u][i]]=root;

                }

                //否则尝试匹配

                else{

                    while(tmp!=root&&!ch[tmp][i]{

                        tmp=fail[tmp];

                    }

                    if(tmp!=root||ch[tmp][i]){

                        fail[ch[u][i]]=ch[tmp][i];

                    }

                    else{

                        fail[ch[u][i]]=root;

                        last[ch[u][i]]=root;

                    }

                }

            }

        }

    }

}

匹配

好了，fail指针也构建完了，就可以开始匹配了

假如当前匹配节点存在通向下一个节点的边，那么就转移

否则就是找不到下一个节点，那么就要按照失配来处理

(搬过来~~)

我们知道怎么转移之后还有一个重要的问题：怎么统计？

从一个节点，通过fail指针遍历到的字串一定是该串的一个后缀，而鬼知道哪一个字串会被模式串匹配上，所以统计一定是随匹配转移时刻进行的。

而且，fail指针的转移的过程中，一定会遍历到所有被当前串包含的公共前后缀。因此可以保证正确性。

由于建trie树的时候记录了以某一点结尾的权值，故沿途加上所有权值即可。

代码如下：

void kmp(string a){

    //转移部分

    int len=a.size();

    int u=root;

    for(int i=0;i<len;++i){

        int v=a[i]-'a';

        while(u!=root&&!ch[u][v]){

            u=fail[u];

        }

        if(u!=root||ch[u][v]) u=ch[u][v];

        else u=root;

        //统计部分

        int tmp=u;

        while(tmp!=root){

            rec[type[tmp]]+=dot[tmp];

            tmp=last[tmp];

        }

    }

}

last优化

在转移过程中，会遇到很多权值为0（模式串中不包含），但fail指针却跳到了，导致fail指针要大量跳过一些对答案没有用的节点。

last优化就是要想法设法避免这件事。由于权值为0的fail指针是毫无意义的，那么就设last指针必定跳向一个权值不为0的指针

假如（fail指针所指向的点，其权值大于零）

    last指针就是fail指针

否则

    last指针就是fail指针指向的点的last指针

简单的实现：

last[u]=dot[fail[u]]?fail[u]:last[fail[u]];

总结

至此，ac自动姬已经从理论到代码都有了完整的实现一举，参考代码如下：

该代码记录的是

struct trie{

    static const int MAX=3e5+6;

    int cnt,tot,root;

    int ch[MAX][26],fail[MAX],last[MAX],dot[MAX];

    void clean(){

        cnt=0; tot=0; root=0;

        memset(ch,0,sizeof(ch));

        memset(fail,0,sizeof(fail));

        memset(last,0,sizeof(last));

        memset(dot,0,sizeof(dot));

    }

    void insert(string a){

        tot++;

        int len=a.size();

        int u=root;

        for(int i=0;i<len;++i){

            int v=a[i]-'a';

            if(!ch[u][v]){

                ch[u][v]=++cnt;

            }

            u=ch[u][v];

        }

        dot[u]++; type[u]=tot;

    }

    void getfail(){

        fail[root]=-1; last[root]=-1;

        queue <int> line; line.push(root);

        while(!line.empty()){

            int u=line.front(); line.pop();

            for(int i=0;i<=25;++i){

                if(ch[u][i]){

                    line.push(ch[u][i]);

                    int tmp=fail[u];

                    if(tmp==-1){

                        fail[ch[u][i]]=root;

                        last[ch[u][i]]=root;

                    }

                    else{

                        while(tmp!=root&&!ch[tmp][i]){

                            tmp=fail[tmp];

                        }

                        if(tmp!=root||ch[tmp][i]){

                            fail[ch[u][i]]=ch[tmp][i];

                            last[ch[u][i]]=dot[fail[ch[u][i]]]?fail[ch[u][i]]:last[fail[ch[u][i]]];

                        }

                        else{

                            fail[ch[u][i]]=root;

                            last[ch[u][i]]=root;

                        }

                    }

                }

            }

        }

    }

    int kmp(string a){

        int len=a.size(),ans=0;

        int u=root;

        for(int i=0;i<len;++i){

            int v=a[i]-'a';

            while(u!=root&&!ch[u][v]){

                u=fail[u];

            }

            if(u!=root||ch[u][v]) u=ch[u][v];

            else u=root;

            int tmp=u;

            while(tmp!=root){

                ans+=dot[tmp]; dot[tmp]=0;

                tmp=last[tmp];

            }

        }

        return ans;

    }

    void print(int u){

        printf("%d %d\n",u,fail[u]);

        for(int i=0;i<=25;++i){

            if(ch[u][i]) print(ch[u][i]);

        }

    }

}tree;

后记

深夜里又打了6e3个字..（＞人＜；）

希望通过这篇博客，能为自己和所有看到的人提供一点思路(´▽`ʃ♡ƪ)

ac自动姬的相关教程结束。