洛谷P3628 [APIO2010]特别行动队（动态规划，斜率优化，单调队列）

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安利蒟蒻斜率优化总结

由于人是每次都是连续一段一段地选，所以考虑直接对\(x\)记前缀和，设现在的\(x_i=\)原来的\(\sum\limits_{j=1}^ix_i\)。

设\(f_i\)为安排前\(i\)个人的最大值\((f_0=0)\)

\(f_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{f_j+a(x_i-x_j)^2+b(x_i-x_j)+c\}\)

\(\quad=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{f_j-2ax_ix_j+ax_j^2-bx_j\}+ax_i^2+bx_i+c\)

决策\(j\)比\(k\)优当且仅当

\[f_j-2ax_ix_j+ax_j^2-bx_j\ge f_k-2ax_ix_k+ax_k^2-bx_k
\]

\[\frac{f_j+ax_j^2-bx_j-(f_k+ax_k^2-bx_k)}{x_j-x_k}\ge 2ax_i
\]

于是每个决策可以看成是一个点\((x_i,y_i)(y_i=f_i+ax_i^2-bx_i)\)

不用考虑变号。因为\(a<0\)，\(x_i\)递增，斜率\(2ax_i\)递减，所以我们用单调队列维护一个下凸包就行了。依旧是维护队首为当前最优解。

当然注意这里的转移是从\(0\)到\(i-1\)，所以和土地征用有点点不一样，要先求出\(f_i\)再加入决策点\(i\)。

纯天然代码

#include<cstdio>

#define RG register

#define R RG int

#define G c=getchar()

#define Calc(j,k) (y[j]-y[k])/(x[j]-x[k])//求斜率

const int N=1e6+9;

int q[N];

double f[N],k[N],x[N],y[N];//变量名同上

inline int in(){

	RG char G;RG bool f=0;

	while(c<'-')G;

	if(c=='-')f=1,G;

	R x=c&15;G;

	while(c>'-')x=x*10+(c&15),G;

	return f?-x:x;

}

int main(){

	R n=in(),i,h,t;

	RG double a=in(),b=in(),c=in(),now;

	for(i=h=t=1;i<=n;++i){

		x[i]=x[i-1]+in();//前缀和

		now=2*a*x[i];//当前斜率

		while(h<t&&k[h]>=now)++h;

		f[i]=-now*x[q[h]]+y[q[h]]+(a*x[i]+b)*x[i]+c;//先求fi,根据定义式求

		y[i]=f[i]+(a*x[i]-b)*x[i];//yi跟着求

		while(h<t&&k[t-1]<=Calc(q[t],i))--t;//维护凸包

		k[t]=Calc(q[t],i);q[++t]=i;

	}

	printf("%.0lf\n",f[n]);

	return 0;

}

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