简单数学题

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Problem Description
已知

F(n)=∑i=1n(i×∑j=inCij)

求 F(n) mod 1000000007

 
Input
多组输入，每组输入占一行，包含一个整数n（1 <= n <= 1e18)。
数据不超过300000组。
 
Output
对于每组输入，输出一行，包括一个数代表答案。
 
Sample Input

5
100

 
Sample Output

129
660756544

 
Source
“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛
 
写的时候，推了好几次，每次都能优化一点点，最后发现就是一个公式。
优化过程代码中注释掉了。
 

推的过程中用到的一个公式

对于C(n,k)*k求和,k从1到n
n为常量,要求和的式子如下：
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
其中,C(n,k)的意义是组合数,n为下标,k为上标
最终结果为化简后的式子

C(n,k)*k
=k*n!/[(n-k)!k!]
=n*(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]
=n*C(n-1,k-1)
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
=n[C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+.+C(n-1,n-1)]
=n*2^(n-1)

 
代码:

 //

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=1e5+;

 const int mod=;

 //

 //ll fac[maxn],inv[maxn];

 //

 //void init()

 //{

 //    fac[0]=fac[1]=1;

 //    inv[0]=inv[1]=1;

 //    for(ll i=2;i<maxn;i++)

 //    {

 //        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

 //        inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

 //    }

 //    for(ll i=2;i<maxn;i++)

 //        inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;

 //}

 //ll C(ll x,ll y)

 //{

 //    if(y>x) return 0;

 //    if(y==0||x==0) return 1;

 //    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;

 //}

 ll pow_mod(ll a,ll b){

      ll ans=;

      while(b){

          if(b%==){

              ans=ans*a%mod;

          }

          a=a*a%mod;

          b=b/;                              //这里是转化为二进制之后的进位---左进位

      }

      return ans;

  }

 //ll a[maxn];

 int main()

 {

 //    init();

 //    for(int i=1;i<=1e3;i++){

 ////        for(int j=1;j<=i;j++){

 ////            a[i]=(a[i]+j*C(i,j)%mod)%mod;

 ////        }

 //        a[i]=i*pow_mod(2,(i-1))%mod;

 //        a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;

 //        //a[i]+=a[i-1];

 //    }

     ll n;

     while(~scanf("%lld",&n)){

         ll ans=(((n-)%mod)*pow_mod(,n)+)%mod;

         cout<<ans<<endl;

     }

 }

HDU 6467.简单数学题-数学题 (“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛)的相关教程结束。