【BZOJ5109】[CodePlus 2017]大吉大利，晚上吃鸡！

Description

最近《绝地求生：大逃杀》风靡全球，皮皮和毛毛也迷上了这款游戏，他们经常组队玩这款游戏。在游戏中，皮皮和毛毛最喜欢做的事情就是堵桥，每每有一个好时机都能收到不少的快递。当然，有些时候并不能堵桥，皮皮和毛毛会选择在其他的必经之路上蹲点。K博士作为一个老年人，外加有心脏病，自然是不能玩这款游戏的，但是这并不能妨碍他对这款游戏进行一些理论分析，比如最近他就对皮皮和毛毛的战士很感兴趣。【题目描述】游戏的地图可以抽象为一张n个点m条无向边的图，节点编号为1到n，每条边具有一个正整数的长度。假定大魔王都会从S点出发到达T点（S和T已知），并且只会走最短路，皮皮和毛毛会在A点和B点埋伏大魔王。
为了保证一定能埋伏到大魔王，同时又想留大魔王一条生路，皮皮和毛毛约定A点和B点必须满足：
1.大魔王所有可能路径中，必定会经过A点和B点中的任意一点
2.大魔王所有可能路径中，不存在一条路径同时经过A点和B点
K博士想知道，满足上面两个条件的A,B点对有多少个，交换A,B的顺序算相同的方案

Input

第一行输入四个整数n,m,S,T(1≤n≤5×10^4,1≤m≤5×10^4,1≤S,T≤n)，含义见题目描述。
接下来输入m行，每行输入三个整数u,v,w(1≤u,v≤n,1≤w≤10^9)表示存在一条长度为w的边链接u和v。
1≤n≤5×10^4,1≤m≤5×10^4,1≤w≤10^9

Output

输出一行表示答案

Sample Input

7 7 1 7
1 2 2
2 4 2
4 6 2
6 7 2
1 3 2
3 5 4
5 7 2

Sample Output

6
【样例 1 解释】
合法的方案为 < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 3 >, < 4, 5 >, < 6, 3 >, < 6, 5 > 。

题解：第一思路是先随便找出一条最短路，那么最终的A点和B点一定有一个在这条最短路上，我们设在路径上的是A。于是我们枚举所有点B，考虑它可以搭配哪些合法的点A。不难发现，为了满足条件2，可以选择的点A一定在一段区间中（如果能从B走到A，那么B也一定能走到A后面的点；如果A能走到B，那么A前面的点也一定能走到B），我们可以先求出最短路径图，然后在正图和反图上分别跑拓扑排序+DP，就能得出每个B的合法A区间。

那么条件1如何满足呢？我们可以用拓扑排序求出经过点i的最短路径条数f[i]，那么如果A和B满足条件1，等价于f[A]+f[B]=f[T]，所以我们可以采用差分的方式，将每个B的f值扔到对应的A区间中，然后枚举所有A，用map维护当前有多少个点的f值等于一个数，每枚举到一个A就查询一下有多少个点的f等于f[T]-f[A]即可。不过f值可能很大，我们可以采用取模的方式，如果感觉还是很虚的话，可以多取几个模数（本人取了两个）。

但是，考试时写了一发只有55分，为什么？45分的数据S和T都不连通，此时要输出$C_n^2$！输出$C_n^2$能得45分也就算了，我后来check了一下数据，发现所有图都是随机的，所有数据中从S到T的最短路最多只有1条！所以呢，本题其实只需要先特判S和T是否连通，若不连通则输出$C_n^2$，否则随便找一条S到T的最短路，设路径上的点数为len，输出len*(n-len)即能得到满分。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <utility>

#include <map>

#include <vector>

#define mp(A,B) make_pair(A,B)

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=50010;

const ll P1=998244353;

const ll P2=1000000007;

int n,m,cnt,len,S,T;

ll ans;

struct node

{

	ll x,y;

	node() {}

	node(ll a,ll b) {x=a,y=b;}

	node operator + (const node &a) const {return node((x+a.x)%P1,(y+a.y)%P2);}

	node operator * (const node &a) const {return node(x*a.x%P1,y*a.y%P2);}

	node operator - (const node &a) const {return node((x-a.x+P1)%P1,(y-a.y+P2)%P2);}

	bool operator < (const node &a) const {return (x==a.x)?(y<a.y):(x<a.x);}

}f1[maxn],f2[maxn],f[maxn];

priority_queue<pair<ll,int> > pq;

queue<int> q;

int to[maxn<<1],next[maxn<<1],head[maxn],vis[maxn],d[maxn],pre[maxn],lm[maxn],rm[maxn],p[maxn];

//l正r反

ll val[maxn<<1],s1[maxn],s2[maxn];

map<node,int> s;

vector<node>::iterator it;

vector<node> p1[maxn],p2[maxn];

inline int rd()

{

	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();

	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}

	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();

	return ret*f;

}

inline void add(int a,int b,int c)

{

	to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;

}

int main()

{

	//freopen("7.in","r",stdin);

	n=rd(),m=rd(),S=rd(),T=rd();

	int i,j,a,b,c,u,v;

	memset(head,-1,sizeof(head)),memset(s1,0x3f,sizeof(s1)),memset(s2,0x3f,sizeof(s2));

	for(i=1;i<=m;i++)	a=rd(),b=rd(),c=rd(),add(a,b,c),add(b,a,c);

	s1[S]=0,pq.push(mp(0,S));

	while(!pq.empty())

	{

		u=pq.top().second,pq.pop();

		if(vis[u])	continue;

		vis[u]=1;

		for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])	if(s1[to[i]]>s1[u]+val[i])

			s1[to[i]]=s1[u]+val[i],pq.push(mp(-s1[to[i]],to[i]));

	}

	if(s1[T]==0x3f3f3f3f3f3f3f3fll)

	{

		printf("%lld",(ll)n*(n-1)/2);

		return 0;

	}

	s2[T]=0,pq.push(mp(0,T)),memset(vis,0,sizeof(vis));

	while(!pq.empty())

	{

		u=pq.top().second,pq.pop();

		if(vis[u])	continue;

		vis[u]=1;

		for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])	if(s2[to[i]]>s2[u]+val[i])

			s2[to[i]]=s2[u]+val[i],pre[to[i]]=u,pq.push(mp(-s2[to[i]],to[i]));

	}

	for(i=S;i;i=pre[i])	p[++len]=i,lm[i]=len+1,rm[i]=len-1;

	for(i=1;i<=n;i++)	if(!lm[i])	lm[i]=1,rm[i]=len;

	for(i=1;i<=n;i++)	for(j=head[i];j!=-1;j=next[j])	if(val[j]>0&&s1[i]+s2[to[j]]+val[j]==s1[T])

		val[j]=-1,val[j^1]=-2,d[to[j]]++;

	for(i=1;i<=n;i++)	if(!d[i])	q.push(i);

	f1[S]=node(1,1),f2[T]=node(1,1);

	while(!q.empty())

	{

		u=q.front(),q.pop();

		for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])	if(val[i]==-1)

		{

			v=to[i],d[v]--,f1[v]=f1[v]+f1[u],lm[v]=max(lm[v],lm[u]);

			if(!d[v])	q.push(v);

		}

	}

	for(i=1;i<=n;i++)	for(j=head[i];j!=-1;j=next[j])	if(val[j]==-2)	d[to[j]]++;

	for(i=1;i<=n;i++)	if(!d[i])	q.push(i);

	while(!q.empty())

	{

		u=q.front(),q.pop();

		for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])	if(val[i]==-2)

		{

			v=to[i],d[v]--,f2[v]=f2[v]+f2[u],rm[v]=min(rm[v],rm[u]);

			if(!d[v])	q.push(v);

		}

	}

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		f[i]=f1[i]*f2[i];

		if(lm[i]<=rm[i])	p1[lm[i]].push_back(f[i]),p2[rm[i]].push_back(f[i]);

	}

	for(i=1;i<=len;i++)

	{

		for(it=p1[i].begin();it!=p1[i].end();it++)	s[*it]++;

		ans+=s[f[T]-f[p[i]]];

		for(it=p2[i].begin();it!=p2[i].end();it++)	s[*it]--;

	}

	printf("%lld",ans);

	return 0;

}