最近在做Fourier Transform的内容，记录一下今天下午的成果。
本文代码全部自行编写，需要math and music项目完整工程可以在gayhub上获取。（现在还没弄完，就先不发了。）
概要
第一部分：
图像代码部分原理很直接，即极坐标参数方程的转化。
第二部分：
关于图像质点中心的问题，数学上需要使用复数与微积分的知识求出。
3b1b的原代码也是将质点的x-coordinate of center of mass图像直接用公式绘制。
但是本文使用的是暴力的方法，直接用Mobject的get_center通过帧updater描点的方法绘制离散的点集。如果需要，可以拟合为曲线。
原视频：https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY&t=188s
bilibili：
https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8?share_source=copy_web
数学公式在geogebra中构建如下：
即将cos(mx)+1转化为参数方程[(1+cos(mt))·cos(nt),(1+cos(mt))·sin(nt)]
关于sin和cos的选择：
正弦和余弦差别在于初始相位。这里出于教学考虑用余弦而不是正弦，主要是因为复指数函数的实部是余弦。如果用正弦的话，会发现质心的纵坐标而不是横坐标在频率重合的时候达到峰值（而且是负的）。
manim代码：
创建的Mobject有：axes axes_label polarPlane D_delta D_rou D_move
以及三个图像：axes_graph polar_graph para_graph
然后使用add_update()添加DecimalNumber作为变化数值到动画更新函数即可。
第一部分代码：
class FourierTrans_First(Scene):
def construct(self):
axes = Axes(
x_range=[-0, 2*PI, PI/4],
y_range=[-0.1, 2.5, 1],
x_length=14,
y_length=2
).to_edge(UP)
axes_label = axes.get_axis_labels('Time','Intensity')
polarPlane = PolarPlane(
radius_max=2.0,
azimuth_units="TAU radians",
size=4,
azimuth_label_font_size=24,
radius_config={"font_size": 24},
).add_coordinates().to_edge(DOWN+LEFT)
#显示坐标与坐标标签
self.add(axes,axes_label,polarPlane)
#一些全局参数-修改这三个参数就好
delta = 0#偏移量
rou = 20#theta的系数
move = 10#极坐标变换的变化程度系数
dn_kwargs = {'num_decimal_places':3,}
D_delta = DecimalNumber(delta,**dn_kwargs)
D_rou = DecimalNumber(rou,**dn_kwargs)
D_move = DecimalNumber(move,**dn_kwargs).shift(DOWN)
#解析式-公式修改这里就好
r = lambda t: np.sin(D_rou.get_value()*t)+1
par = lambda t: np.array([
(r(t))*np.cos(D_move.get_value()*t),
(r(t))*np.sin(D_move.get_value()*t),
0])
#更新函数
def Func_axes():
return axes.plot(r,color=PINK)
def Func_polar():
return polarPlane.plot_polar_graph(r, [0, 2 * PI], color=ORANGE)
def Func_para():
para = ParametricFunction(
par,
t_range = np.array([0, 3.14*2]),
fill_opacity=0)\
.set_color(color=[RED,YELLOW,BLUE,RED])\
.shift(DOWN*2+RIGHT*2)
self.add(Dot(para.get_center()))
return para
axes_graph = Func_axes()
polar_graph = Func_polar()
para_graph = Func_para()
axes_graph.add_updater(lambda mob: mob.become(Func_axes()))
polar_graph.add_updater(lambda mob: mob.become(Func_polar()))
para_graph.add_updater(lambda mob:mob.become(Func_para()))
self.add(D_rou,D_move)
self.play(Write(axes_graph),Write(polar_graph),Write(para_graph))
#self.play(ChangeDecimalToValue(D_rou,20),run_time=5,rate_func=linear)
self.play(ChangeDecimalToValue(D_move,20),run_time=5,rate_func=linear)
self.wait(1)第二部分（含一）代码：
from manim import *
class FourierTrans_First(Scene):
def construct(self):
#########全局参数-修改这5个参数就好#########
delta = 0#偏移量
rou = 0#theta的系数
move = 1#极坐标变换的变化程度系数
target = 1#追踪质心y坐标
track_end = 18#扭扭的结尾
############################################
dn_kwargs = {'num_decimal_places':3,}
D_delta = DecimalNumber(delta,**dn_kwargs)
D_rou = DecimalNumber(rou,**dn_kwargs).shift(LEFT)
D_move = DecimalNumber(move,**dn_kwargs).next_to(D_rou,DOWN)
D_target = DecimalNumber(target,**dn_kwargs).next_to(D_move,DOWN)
#######解析式-修改这里 《公式r》 就好#######
r = lambda t: np.sin(D_rou.get_value()*t)+1
############################################
par = lambda t: np.array([
(r(t))*np.cos(D_move.get_value()*t),
(r(t))*np.sin(D_move.get_value()*t),
0])
#coordinate system & labels
axes = Axes(
x_range=[-0, 2*PI, PI/4],
y_range=[-0.1, 2.5, 1],
x_length=14,
y_length=2
).to_edge(UP)
axes_label = axes.get_axis_labels('Time','Intensity')
#polar plane
polarPlane = PolarPlane(
radius_max=2.0,
azimuth_units="TAU radians",
size=4,
azimuth_label_font_size=24,
radius_config={"font_size": 24},
).add_coordinates().to_edge(DOWN+LEFT)
#point track plane
pointAxes = Axes(
x_range=[0, track_end+track_end*0.3,1],
y_range=[-0.5, 1],
x_length=6,
y_length=4
).to_edge(UP).to_edge(DOWN+RIGHT)
#更新函数
def Func_axes():
return axes.plot(r,color=PINK)
def Func_polar():
return polarPlane.plot_polar_graph(r, [0, 2 * PI], color=ORANGE)
def Func_para():
para = ParametricFunction(
par,
t_range = np.array([0, 3.14*2]),
fill_opacity=0)\
.set_color(color=[RED,YELLOW,BLUE,RED])
return para
def Func_para_with_messPoint():
para = ParametricFunction(
par,
t_range = np.array([0, 3.14*2]),
fill_opacity=0)\
.set_color(color=[RED,YELLOW,BLUE,RED])
messPoint = Dot(pointAxes.coords_to_point(D_move.get_value(),para.get_y()),color=GREEN_B,radius=0.02)
self.add(messPoint)
return para
axes_graph = Func_axes()
polar_graph = Func_polar()
para_graph = Func_para()
#define messPoint
messPoint = Dot(para_graph.get_center())
#定义updater_func表达式
axU = lambda mob: mob.become(Func_axes())
poU = lambda mob: mob.become(Func_polar())
paU = lambda mob:mob.become(Func_para().shift(DOWN+RIGHT*3))
paU_with_messPoint = lambda mob:mob.become(Func_para_with_messPoint().move_to(para_graph))
#添加updater
axes_graph.add_updater(axU)
polar_graph.add_updater(poU)
para_graph.add_updater(paU)
################################################
####################开始动画####################
################################################
#显示坐标与坐标标签
group_axes = VGroup(axes,axes_label,axes_graph)
group_polar = VGroup(polarPlane,polar_graph)
self.add(D_rou,D_move)
self.play(Write(group_axes),Write(group_polar),Write(para_graph))
self.play(ChangeDecimalToValue(D_rou,track_end),run_time=14,rate_func=linear)
#左下角的图像消失，右下角的图像挪来左边
polar_graph.remove_updater(poU)
self.play(FadeOut(polar_graph))
para_graph.remove_updater(paU)
self.play(para_graph.animate.move_to(group_polar))
self.play(GrowFromCenter(pointAxes))
#开始扭扭~并且加点追踪
para_graph.add_updater(paU_with_messPoint)
D_move.set_value(0)
self.play(ChangeDecimalToValue(D_move,track_end),run_time=30,rate_func=linear)
self.wait(1)
