本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念,并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式,还讨论了矩阵标准形的主要基本特征,然后重点讨论了分块矩阵的几种运算,包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积,以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积,最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。
1 基本概念
在计算或证明时为了方便,将矩阵进行分块。
定义:将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵,将每个小矩阵称为这个矩阵的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科
[1134∣0−−−−−−2011∣01111∣34111∣0]=[A1A2A3A4]\begin{bmatrix}1&1&3&4&|&0\\-&-&-&-&-&-\\2&0&1&1&|&0\\1&1&1&1&|&3\\4&1&1&1&|&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}
根据实际做题的方便性和需要灵活分块。
以下是错误分法:
[1∣13∣40∣−−−2∣0110−−−−−11∣11∣3−−−−−4∣11∣10]\begin{bmatrix}1&|&1&3&|&4&0\\&|&&&-&-&-\\2&|&0&1&&1&0\\&-&-&-&-&-&\\1&1&|&1&1&|&3\\&-&-&&-&-&-\\4&|&1&1&|&1&0\end{bmatrix}
要求:不管横线还是竖线,需要一气到头。
如果分块数量比较多,也可以使用以下方式表示:
[A11A12A21A22]\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}
2 两种常见的分块
2.1 按行分块
将每行进行分块。
[123−−−111−−−144]=[A1A2A3]\begin{bmatrix}1&2&3\\-&-&-\\1&1&1\\-&-&-\\1&4&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{bmatrix}
每一行构成一个列向量,向量将在后续章节介绍。
(α1α2α3)\begin{pmatrix}{\alpha}_1\\{\alpha}_2\\{\alpha}_3\end{pmatrix}
2.2 按列分块
将第列进行分块。
[1∣2∣31∣1∣11∣4∣4]=[B1B2B3]\begin{bmatrix}1&|&2&|&3\\1&|&1&|&1\\1&|&4&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1&B_2&B_3\end{bmatrix}
每一列构成一个行向量,向量将在后续章节介绍。
(β1β2β3)\begin{pmatrix}{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\end{pmatrix}
3 标准形
D=[1⋱10⋱0]m×nD=\begin{bmatrix}1&&&&&\\&\ddots&&&&\\&&1&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}
最主要特征:从左上角开始一串连续的11,其余地方均为00。标准形不一定是方的。
判断以下矩不是准形:
[110]是[100001000010]是[1111]\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}是
[011]不是[1101]不是[000]\begin{bmatrix}\color{red}{0}&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{0}&\\&&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}0&&\\&0&\\&&0\end{bmatrix}是
可以对标准形进行分块:
D=[1∣⋱∣1∣−−−+−−−∣0∣⋱∣0]m×n=[ErOr×(n−r)O(m−r)×rO(n−r)×(n−r)]D=\begin{bmatrix}1&&&|&&&\\&\ddots&&|&&&\\&&1&|&&&\\-&-&-&+&-&-&-\\&&&|&0&&\\&&&|&&\ddots&\\&&&|&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}=\begin{bmatrix}E_r&O_{r\times(n-r)}\\O_{(m-r){\times}r}&O_{(n-r)\times(n-r)}\end{bmatrix}
4 分块矩阵的运算
4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积
① 分块矩阵加法(和减法)
[A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix}
对应块分别相加,但需要确保对应块的形状保持一致。
② 数乘以分块矩阵
k[A1A2A3A4]=[kA1kA2kA3kA4]k\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA_1&kA_2\\kA_3&kA_4\end{bmatrix}
用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。
③ 分块矩阵乘法
[A1A2A3A4][B1B2B3B4]=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4]\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix}
将分块看成元素,即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加;
然后再对每个子块进行相乘。
分块矩阵能够相乘的前提条件:子块AikA_{ik}与BkjB_{kj}可乘。
例4:矩阵AA为m×nm{\times}n阶,矩阵BB为n×sn{\times}s阶,且B=[B1B2⋯Bt]B=\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix},求ABAB。
解:显然,AA和BB的每一个子块都可乘。
AB=A[B1B2⋯Bt]AB=A\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix}
=[AB1AB2⋯ABt]=\begin{bmatrix}AB_1&AB_2&\cdots&AB_t\end{bmatrix}
错误理解:将外面的AA看作一个数直接乘进去;
正确理解:将AA看作只有一个块的分块矩阵。
4.2 几种分块矩阵
4.2.1 对角型分块矩阵
[A1A2⋱At]\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_t\end{bmatrix}
只有主对角线上有不为零的块。
例5:已知对角型分块矩阵A=[A1A2⋱Ak]A=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}和B=[B1B2⋱Bk]B=\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix},并且每个子块都是同阶方阵,求ABAB和A+BA+B。
解:AB=[A1A2⋱Ak][B1B2⋱Bk]AB=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}
=[A1B1A2B2⋱AkBk]=\begin{bmatrix}A_1B_1&&&\\&A_2B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_kB_k\end{bmatrix}
A+B=[A1A2⋱Ak]+[B1B2⋱Bk]A+B=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}
=[A1+B1A2+B2⋱Ak+Bk]=\begin{bmatrix}A_1+B_1&&&\\&A_2+B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k+B_k\end{bmatrix}
4.2.2 上三角和下三角分块矩阵
类似地,可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。
容易证明:同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。
4.3 分块矩阵转置
④ 分块矩阵转置
A=[A1A2A3A4A5A6]A=\begin{bmatrix}A_1&A_2&A_3\\A_4&A_5&A_6\end{bmatrix}
(1) 把子块看作普通元素求转置;
(2) 对每个子块求转置。
AT=[A1TA4TA2TA5TA3TA6T]A^T=\begin{bmatrix}A_1^T&A_4^T\\A_2^T&A_5^T\\A_3^T&A_6^T\end{bmatrix}
4.4 分块矩阵求逆
⋆\star 例6:假设H=[ACOB]H=\begin{bmatrix}A&C\\O&B\end{bmatrix}是分块矩阵,并且AA和BB分别为mm阶和nn阶的可逆矩阵,试验证HH可逆,并求HH的逆矩阵。
分析:由题意可知:AA为mm阶的可逆方阵,BB为nn阶的可逆方阵,所以CC为m×nm{\times}n阶,OO为n×mn{\times}m阶。
证:行列式∣H∣=∣ACOB∣=∣A∣⋅∣B∣|H|=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|
错误理解:=∣AB−OC∣=∣A∣⋅∣B∣=|AB-OC|=|A|\cdot|B|
正确理解:使用拉普拉斯展开定理,取定后nn行展开,所以只能取后nn列得到的子式不为零(因为取到前面的列得到的子式都等于零),即要以理解为按子式∣B∣|B|展开,余子式为∣A∣|A|,故其值为:
=∣B∣(−1)行标+列标∣A∣=|B|(-1)^{行标+列标}|A|
=∣B∣(−1)[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣=|B|(-1)^{[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|
=∣B∣(−1)2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣=|B|(-1)^{2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|
=∣A∣∣B∣=|A||B|
又因为AA和BB均可逆,故∣A∣≠0|A|{\neq0}且∣B∣≠0|B|{\neq}0,
即:∣A∣⋅∣B∣≠0|A|\cdot|B|{\neq}0,
所以:HH可逆。
假设:H−1=[X1X3X4X2]H^{-1}=\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}
所以:HH−1=∣ACOB∣[X1X3X4X2]HH^{-1}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}
=[AX1+CX4AX3+CX2BX4BX2]=[EOOE]=\begin{bmatrix}AX_1+CX_4&AX_3+CX_2\\BX_4&BX_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&O\\O&E\end{bmatrix}
所以:{AX1+CX4=EAX3+CX2=OBX4=OBX2=E\begin{cases}AX_1+CX_4=E\\AX_3+CX_2=O\\BX_4=O\\BX_2=E\end{cases}
错误理解:⟹B=O或X4=O\xcancel{\Longrightarrow}B=O或X_4=O;
正确做法:因为BB可逆,所以B−1BX4=B−1OB^{-1}BX_4=B^{-1}O,所以X4=OX_4=O。
错误理解:因为BX2=EBX_2=E,所以X2=EBX_2=\frac{E}{B};
正确做法:根据逆矩阵推论,因为BX2=EBX_2=E,所以X2=B−1X_2=B^{-1}。
同理,将X4=OX_4=O代入AX1+CX4=EAX_1+CX_4=E可求出:X1=A−1X_1=A^{-1},
将X2=B−1X_2=B^{-1}代入AX3+CX2=OAX_3+CX_2=O,得AX3=−CB−1AX_3=-CB^{-1},故X3=−A−1CB−1X_3=-A^{-1}CB^{-1}。
所以:H−1=[A−1−A−1CB−1OB−1]\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{bmatrix}}
练习:假设H=[AOCB]H=\begin{bmatrix}A&O\\C&B\end{bmatrix}是分块矩阵,并且AA和BB分别为mm阶和nn阶的可逆矩阵,试验证HH可逆,并求HH的逆矩阵。
结论:H−1=[A−1O−B−1CA−1B−1]\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{bmatrix}}
证明:略。
推论:若AA和BB均可逆,则[AB]−1=[A−1B−1]\color{red}{\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&B^{-1}\end{bmatrix}}。
可以进行推广:若A1A_1、A2A_2 … AsA_s均可逆,
则[A1A2⋱Bs]−1=[A1−1A2−1⋱Bs−1]\color{red}{\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_s\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&&&\\&A_2^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&B_s^{-1}\end{bmatrix}}。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵
本文地址:https://blog.csdn.net/li2008kui/article/details/107301726