前言
本文结合一个具体的无向图来对最简单的一种gnn进行推导。本文第一部分是数据介绍，第二部分为推导过程中需要用的变量的定义，第三部分是gnn的具体推导过程，最后一部分为自己对gnn的一些看法与总结。
1. 数据
利用networkx简单生成一个无向图：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@time ： 2021/12/21 11:23
@author ：ki
@file ：gnn_basic.py
@motto：hungry and humble
"""
import networkx as nx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
g = nx.graph()
node_features = [[2, 3], [4, 7], [3, 7], [4, 5], [5, 5]]
edges = [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (1, 3), (3, 5), (3, 4)]
edge_features = [[1, 3], [4, 1], [1, 5], [5, 3], [5, 6], [5, 4], [4, 3]]
colors = []
edge_colors = []
# add nodes
for i in range(1, len(node_features) + 1):
g.add_node(i, feature=str(i) + ':(' + str(node_features[i-1][0]) + ',' + str(node_features[i-1][1]) + ')')
colors.append('#dcbb8a')
# add edges
for i in range(1, len(edge_features) + 1):
g.add_edge(edges[i-1][0], edges[i-1][1], feature='(' + str(edge_features[i-1][0]) + ',' + str(edge_features[i-1][1]) + ')')
edge_colors.append('#3ca9c4')
# draw
fig, ax = plt.subplots()
pos = nx.spring_layout(g)
nx.draw(g, pos=pos, node_size=2000, node_color=colors, edge_color='black')
node_labels = nx.get_node_attributes(g, 'feature')
nx.draw_networkx_labels(g, pos=pos, labels=node_labels, node_size=2000, node_color=colors, font_color='r', font_size=14)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(g, 'feature')
nx.draw_networkx_edge_labels(g, pos, edge_labels=edge_labels, font_size=14, font_color='#7e8877')
ax.set_facecolor('deepskyblue')
ax.axis('off')
fig.set_facecolor('deepskyblue')
plt.show()
如下所示：
其中，每一个节点都有自己的一些特征，比如在社交网络中，每个节点（用户）有性别以及年龄等特征。
5个节点的特征向量依次为：
[[2, 3], [4, 7], [3, 7], [4, 5], [5, 5]]
同样，6条边的特征向量为：
[[1, 3], [4, 1], [1, 5], [5, 3], [5, 6], [5, 4], [4, 3]]
2. 变量定义
特征向量实际上也就是节点或者边的标签，这个是图本身的属性，一直保持不变。
3. gnn算法
gnn算法的完整描述如下：forward向前计算状态，backward向后计算梯度，主函数通过向前和向后迭代调用来最小化损失。
主函数中：
上述描述只是一个总体的概述，可以略过先不看。
3.1 forward
早期的gnn都是recgnn，即循环gnn。这种类型的gnn基于信息传播机制： gnn通过不断交换邻域信息来更新节点状态，直到达到稳定均衡。节点的状态向量 x 由以下 f w 函数来进行周期性更新：
解析上述公式：对于节点 n ，假设为节点1，更新其状态需要以下数据参与：
这里的fw只是形式化的定义，不同的gnn有不同的定义，如随机稳态嵌入(sse)中定义如下：
由更新公式可知，当所有节点的状态都趋于稳定状态时，此时所有节点的状态向量都包含了其邻居节点和相连边的信息。
这与图嵌入有些类似：如果是节点嵌入，我们最终得到的是一个节点的向量表示，而这些向量是根据随机游走序列得到的，随机游走序列中又包括了节点的邻居信息， 因此节点的向量表示中包含了连接信息。
证明上述更新过程能够收敛需要用到不动点理论，这里简单描述下：
如果我们有以下更新公式：
gnn的foward描述如下：
解释：
3.2 backward
在节点嵌入中，我们最终得到了每个节点的表征向量，此时我们就能利用这些向量来进行聚类、节点分类、链接预测等等。
gnn中类似，得到这些节点状态向量的最终形式不是我们的目的，我们的目的是利用这些节点状态向量来做一些实际的应用，比如节点标签预测。
因此，如果想要预测的话，我们就需要一个输出函数来对节点状态进行变换，得到我们要想要的东西：
最容易想到的就是将节点状态向量经过一个前馈神经网络得到输出，也就是说 g w g_w gw可以是一个fnn，同样的， f w f_w fw也可以是一个fnn：
我们利用 g w g_w gw函数对节点 n n n收敛后的状态向量 x n x_n xn以及其特征向量 l n l_n ln进行变换，就能得到我们想要的输出，比如某一类别，某一具体的数值等等。
在bp算法中，我们有了输出后，就能算出损失，然后利用损失反向传播算出梯度，最后再利用梯度下降法对神经网络的参数进行更新。
对于某一节点的损失（比如回归）我们可以简单定义如下：
有了z(t)后，我们就能求导了：
z(t)的求解方法在backward中有描述：
因此，在backward中需要计算以下导数：
4.总结与展望
本文所讲的gnn是最原始的gnn，此时的gnn存在着不少的问题，比如对不动点隐藏状态的更新比较低效。
由于cnn在cv领域的成功，许多重新定义图形数据卷积概念的方法被提了出来，图卷积神经网络convgnn也被提了出来，convgnn被分为两大类：频域方法（spectral-based method ）和空间域方法（spatial-based method）。2009年，micheli在继承了来自recgnn的消息传递思想的同时，在架构上复合非递归层，首次解决了图的相互依赖问题。在过去的几年里还开发了许多替代gnn，包括gae和stgnn。这些学习框架可以建立在recgnn、convgnn或其他用于图形建模的神经架构上。
gnn是用于图数据的深度学习架构，它将端到端学习与归纳推理相结合，业界普遍认为其有望解决深度学习无法处理的因果推理、可解释性等一系列瓶颈问题，是未来3到5年的重点方向。
因此，不仅仅是gnn，图领域的相关研究都是比较有前景的，这方面的应用也十分广泛，比如推荐系统、计算机视觉、物理/化学（生命科学）、药物发现等等。
