p分位数的原理及计算

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1.统计上的分位数概念

2.分位数的计算方法及举例
　　2.1首先确定p分位数的位置（依据项数分为基数、偶数情况）
　　2.2 求上一步确定的p分位数位置处的具体值

3.python中的分位数计算

1.统计上的分位数概念
统计上，分位数亦称分位点，是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，常用的有中位数（即二分位数）、四分位数、百分位数等。分位数指的就是连续分布函数中的一个点，这个点对应概率p。若概率0<p<1，随机变量X或它的概率分布的分位数Za，是指满足条件p(X≤Za)=α的实数。

　　四分位数（Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数（或叫四分位点）。
　　第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距。

　　1）第一四分位数(Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字；
　　2）第二四分位数(Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字；
　　3）第三四分位数(Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

2.分位数的计算方法及举例
　　为了更一般化，这里我们考虑四分位。当p=0.25 0.5 0.75 时，就是在计算四分位数。

　　2.1首先确定p分位数的位置（依据项数分为基数、偶数情况）
　　　　2.1.1 设n代表数据的长度，Q1、Q2、Q3代表所求的1分位数、2分位数、3分位数。
　　　　　　将n个数据从小到大排列。记排序前的数据为before_data；排序后的数据为after_data，简记为a1~an

　　　　2.2.2 求位置
　　　　　　position(Q1)= 1*(n +1)/4
　　　　　　position(Q2)= 2*(n +1)/4
　　　　　　position(Q3)= 3*(n +1)/4

2.2 求上一步确定的p分位数位置处的具体值
　　（1）当n是奇数个时，p分位数的值就是after_data中处于的第position(Qi)（i=1,2,3）位置的值。
　　　　figure(Q1)=after_data [position(Q1 ] = a[ (n+1)/4 ]
　　　　figure(Q2)=after_data[position(Q2)]= a[ 2*(n+1)/4 ]
　　　　figure(Q3)=after_data[position(Q3)]= a[ 3 *(n+1)/4 ]

　　　　即：当项数为基数项时，第i分位数的值就是排序后数据中的第（i分位数）数的值

实例1：

给出一组数据before_data：6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36，一共11项
从小到大排序后结果after_data：6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49

position(Q1)=（11+1）/4=3，
position(Q2)=2（11+1）/4=6，
position(Q3)=3（11+1）/4=9

figure(Q1)=after_data[3]=15，
figure(Q2)=after_data[6]=40，
figure(Q3)=after_data[9]=43

　　（2）当n是偶数时，p分位数的值的计算公式如下：
　　　　figure(Q1)=after_data[ |position(Q1)| ] +（after_data[ |position(Q1)|+1] -after_data[ |position(Q1)|]）*（position(Q1)-|position(Q1)|）
　　　　= a[ | (n+1)/4| ] +( a[ | (n+1)/4|+1 ]-a[ | (n+1)/4| ])*((n+1)/4 - | (n+1)/4 |)

　　　　figure(Q2)=after_data[ |position(Q2)| ] +（after_data[ |position(Q2)|+1]-after_data [ |position(Q2)|]）*（position(Q2)-|position(Q2)|）
　　　　= a[ |2 (n+1)/4| ] +( a[ | 2(n+1)/4|+1 ]-a[ | 2(n+1)/4| ])*(2(n+1)/4 - |2 (n+1)/4 |)

　　　　figure(Q3)=after_data[ |position(Q3)| ]+（after_data[ [|position(Q3)|+1]-after_data[ [|position(Q3)]）*（position(Q3)-|position(Q3)|）
　　　　= a[ |3 (n+1)/4| ] +( a[ | 3(n+1)/4|+1 ]-a[ | 3(n+1)/4| ])*(3(n+1)/4 - |3 (n+1)/4 |)

　　　　即：当项数为偶数项时，第i分位数的值由排序后数据的第（i分位数）数-1和第（i分位数）数决定。

实例2：当当n是偶数个时，计算出的位置不是整数时

给出一组数据before_data：7, 15, 36, 39, 40, 41,20,18，一共8项
从小到大排序后结果after_data：7,15,18,20,36,39,40,41

position(Q1)=（8+1）/4=2.25
position(Q2)=2（8+1）/4=4.5
position(Q3)=3（8+1）/4=6.75

figure(Q1)=after_data[2] + (after_data[3] - after_data[2])*(position(Q1)-|position(Q1)|)
= a[ | (n+1)/4| ] +( a[ | (n+1)/4|+1 ]-a[ | (n+1)/4| ])*((n+1)/4 - | (n+1)/4 |)
= 15 + (18-15)*(2.25-2) = 15.75；

figure(Q2)=after_data[4] + (after_data[5] - after_data[4])*(position(Q2)-|position(Q2)|)
= a[ |2 (n+1)/4| ] +( a[ | 2(n+1)/4|+1 ]-a[ | 2(n+1)/4| ])*(2(n+1)/4 - |2 (n+1)/4 |)
= 20 + (36-20)*(4.5-4) = 28；

figure(Q3)=after_data[6] + (after_data[7] - after_data[6])*(position(Q3)-|position(Q3)|)
= a[ |3 (n+1)/4| ] +( a[ | 3(n+1)/4|+1 ]-a[ | 3(n+1)/4| ])*(3(n+1)/4 - |3 (n+1)/4 |)
= 39 + (40-39)*(6.75-6) = 39.75.

3.python中的分位数计算

参考：
【1】https://www.cnblogs.com/gispathfinder/p/5770091.html
【2】https://blog.csdn.net/u011327333/article/details/71263081?locationNum=14&fps=1